导数在研究函数中的应用
知识点一、导数的几何意义
函数y?f?x?在x?x0处导数f??x0?是曲线y?f?x?在点Px0,f?x0?处切线的，即_______________;相应地，曲线y?f?x?在点Px0,f?x0?处的切线方程是 例1.(1)曲线y?sinx?e在点(0,1)处的切线方程为（ ）
A.x?3y?3?0 B.x?2y?2?0 C.2x?y?1?0 D.3x?y?1?0 （2）若曲线y?xlnx上点P处的切线平行于直线2x?y?1?0，则点P的坐标是（ ） A.(e,e) B.(2,2ln2) C.(1,0) D.(0,e) 【变式】
（1）曲线y?xex?2x?1在点(0,1)处的切线方程为（ ）
A.y?3x?1
B.y?2x?1 C.y?3x?1
D.y?2x?1
x????2 （2）若曲线y?ax?lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，则a的值为（）
A.1 B.2 C.知识点二、导数与函数的单调性
11 D.? 22'（1）如果函数y?f(x)在定义域内的某个区间(a,b)内，使得f(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内为且该区间为函数f(x)的单调_______区间；
'(2)如果函数y?f(x)在定义域内的某个区间(a,b)内，使得f(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间
内为，且该区间为函数f(x)的单调_______区间.
例1.（1）函数f(x)?(3?x)e的单调递增区间为（ ）
A.(??,0) B.(0,??) C.(?3,1) D.(??,?3)和(1,??)
（2）函数y?2x12x?lnx的单调递减区间为（ ） 2A.??1,1? B.?0,1? C.?1,??? D.(0,??)
例2.求下列函数的单调区间，并画出函数y?f(x)的大致图像. （1）f(x)?x （2）f(x)?x?3x (3)f(x)?
33131x?x2?3x?1 （4）f(x)??x3?x2?3x 33知识点三、导数与函数的极值
函数y?f(x)在定义域内的某个区间(a,b)内,若x0满足f?(x0)?0，且在x0的两侧f(x)的导数f?(x)异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f?(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的，f(x0)是极大值；如果f?(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值 例1.（1）求函数f(x)?213x?x2?3x?1的极值 3（2）求函数f(x)?x?2lnx的极值
例2.（1）已知函数f(x)?xlnx，则下列关于f(x)说法正确的是（ ） A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值，又有极小值 D.既无极大值，有无极小值
（2）已知函数f(x)?ax?bx在x?1处有极值?2，则a,b的值分别为（ ） A.1,?3 B.1,3 C.?1,3 D.?1,?3 （3）函数f(x)?x(x?m)在x?1处取得极小值，则m的值为（ ） A.1 B.3 C.1或3 D.0 知识点四、导数与函数的最值 例1.（1）求函数f(x)?2313x?x2?3x?1在[?2,4]的最大值和最小值 3（2）求f(x)?x3?3x2?2在区间??1,1?上的最大值和最小值 （3）求函数f(x)?x?2lnx的最小值
知识点五、有关参数的取值范围问题
（1）在区间(a,b)内f?(x)?0(f?(x)?0)是函数f(x)在此区间上为增函数（减函数）的充分不必要条件. （2）函数在(a,b)上是增函数的充要条件是对任意的x?(a,b)，f?(x)?0恒成立 （3）函数在(a,b)上是减函数的充要条件是对任意的x?(a,b)，f?(x)?0恒成立
2（4）f?(x0)?0是可导函数y?f(x)在点x?x0处有极值的必要不充分条件（即导数值为0的点x0不一定是极值点，但极值点处的导函数值一定等于0）
32例：（1）已知函数f(x)?x?x?mx?1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）
A.(,??) B. (??,) C. [,??) D. (??,] （2）若f?x??x3?ax2??a?6?x?1有极大值和极小值，则a的取值范围为（ ） A.??1,2?
(3)若函数f(x)?x?ax?4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A.?0,3? B.?0,1? C.?3,??? D.(0,??) (4)若函数
3213131313 B.??3,2? C.???,?1?U?2,??? D.???,?3?U?6,???
f?x??kx?lnx在区间?1,???单调递增，则k的取值范围是（ ）
C.?2,??? D.?1,???
A.???,?2? B.???,?1?导数经典解答题 典例1.已知函数f(x)?
典例2.求函数f(x)的单调区间（或讨论单调性） （1）已知函数f(x)?
x（2）已知函数f(x)?e?ax?1，求f(x)的单调增区间；
13x?x2?3x?1，求函数f(x)在区间[?2,6]上的最大值和最小值. 313x?x2?ax，讨论f(x)的单调性； 3
（3）已知函数f(x)?lnx?a(1?x)，讨论f(x)的单调性；
题型二、利用导数求函数的极值和最大（小）值 典例3.已知函数f(x)?2x?3(a?1)x?1，其中a?1 （1）求f(x)的单调区间 （2）讨论f(x)的极值
典例4.已知函数f(x)?x?alnx(a?R)
（1）当a?2时，求曲线y?f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程； （2）求函数f(x)的极值.
典例5.已知函数f(x)?lnx?ax.
32（1，f(1)）（1）当a?1时，求曲线f(x)在点处的切线方程；
（2）若a?0，且函数f(x)在区间[1,e]上的最大值为2，求a的值.
高中数学导数在研究函数中的应用知识点题型总结
