高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和教学
案理（含解析）新人教A版
第二节 等差数列及其前n项和
[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N)，d为常数． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝
*
a＋b2
，其中A叫做a，b的等差中项．
(3)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d，可推广为an＝am＋(n－m)d. (4)等差数列的前n项和公式：Sn＝
na1＋an2
＝na1＋
nn－1
2
d.
2．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．
(2)数列{an}是等差数列，且公差不为0?Sn＝An＋Bn(A，B为常数)． [常用结论]
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N，都有2an＋1＝an＋an＋2.( ) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( ) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于( )
*2
S2m－1am＝. T2m－1bm
111A. B. C．2 D．－ 422A [∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5， 又a10＝6，∴公差d＝
a10－a66－51
10－6
＝
4
＝.故选A.]
4
3．(教材改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( ) A．31 B．32 C．33 D．34 B [设数列{an}的公差为d， 法一：由S5＝5a3＝30得a3＝6， 8
又a6＝2，∴S8＝
a1＋a8
2
8＝
a3＋a6
2
1
＝
8
6＋2
＝32. 2
a1＋5d＝2，??
法二：由?5×4
5ad＝30，1＋?2?
26
a＝，??3得?4
d＝－??3.
8×7264
∴S8＝8a1＋d＝8×－28×＝32.]
233
4．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则
d的取值范围为________．
?a8＞0，?－1，－7? [由题意可知?
??8?????a9＜0.
??7＋7d＞0，
即???7＋8d＜0
7
解得－1＜d＜－.]
8
5．(教材改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________. 180 [∵{an}为等差数列，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90， ∴a2＋a8＝2a5＝180.]
等差数列基本量的运算
1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝( ) A．12
B．13 C．14
D．15
5
B [由题意得S5＝13.故选B.]
2．已知在等差数列{an}中，a1＝20，an＝54，Sn＝3 700，则数列的公差d，项数n分别为( ) A．d＝0.34，n＝100
B．d＝0.34，n＝99
3434
C．d＝，n＝100 D．d＝，n＝99
9999
a1＋a5
2
＝5a3＝25，a3＝5，公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝
an＝a1＋n－1d，??
C [由?nn－1dS，n＝na1＋?2?
54＝20＋n－1d，??
得?nn－1d3 700＝20n＋，?2?
34??d＝，
解得?99
??n＝100.
故选C.]
3．(2018·宁德二模)已知等差数列{an}满足a3＋a5＝14，a2a6＝33，则a1a7＝( ) A．33 B．16 C．13 D．12
??a3＋a5＝14，
C [由?
?a2·a6＝33，???a1＝1，解得?
?d＝2，?
??a1＋3d＝7，
得?
?a1＋da1＋5d?
＝33，
??a1＝13，
或?
?d＝－2.?
当a1＝1，d＝2时，a7＝1＋6×2＝13，∴a1a7＝13； 当a1＝13，d＝－2时，a7＝13＋6×(－2)＝1，∴a1a7＝13. 综上可知a1a7＝13.故选C.]
4．(2018·西宁一模)我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种重量单位)．这个问题中，等差数列的通项公式为( ) 17*
A．－n＋(n∈N，n≤5)
6613*
B.n＋(n∈N，n≤5) 6217*
C.n＋(n∈N，n≤5) 6613*
D．－n＋(n∈N，n≤5)
62
D [由题意可设五人所得依次对应等差数列中的a1，a2，a3，a4，a5，公差为d，则
??S5＝5，?
?a1＋a2＝a3＋a4＋a5，?
5×4??5a1＋d＝5，
2∴?
??2a1＋d＝3a1＋9d，4a＝，??3∴?1
d＝－??6，
1
4?1?31*
∴通项公式为an＝＋(n－1)×?－?＝－n(n∈N，n≤5)，故选D.]
3?6?26[规律方法] 解决等差数列运算问题的思想方法 1方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程组求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”. 2整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解. 3利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程. 等差数列的判定与证明
【例1】 数列{an}满足an＋1＝
an，a1＝1. 2an＋1
?1?
(1)证明：数列??是等差数列；
?an?
?1?111n(2)求数列??的前n项和Sn，并证明＋＋…＋＞.
S1S2Snn＋1?an?
[解] (1)证明：∵an＋1＝∴
1
an， 2an＋1
anan＋1anan＋1
2an＋11111＝，化简得＝2＋，即－＝2，
anan＋1
?1?
故数列??是以1为首项，2为公差的等差数列．
?an?
1
(2)由(1)知＝2n－1，
an所以Sn＝
n1＋2n－1
2
＝n.
1
n＋1
2
11111111
证明：＋＋…＋＝2＋2＋…＋2＞＋＋…＋
S1S2Sn12n1×22×3n1?1n?1??11??1＝?1－?＋?－?＋…＋?－＝1－＝. ?n＋1n＋1?2??23??nn＋1?[规律方法] 等差数列的四个判定方法 1定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数. 2等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2. 3通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列. 4前n项和公式法：得出Sn＝An＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列. 已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n＋2n. (1)求a2，a3；
(2)证明数列??是等差数列，并求{an}的通项公式．
?n?
?an?
22
[解] (1)由已知，得a2－2a1＝4， 则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6. 由2a3－3a2＝12，
得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)， 得
nan＋1－n＋1anan＋1an＝2，即－＝2，
nn＋1n＋1n?an?
所以数列??是首项＝1，公差d＝2的等差数列．
1?n?则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n－n. 等差数列的性质及应用
【例2】 (1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )
A．0 B．37 C．100 D．－37
(2)(2019·商洛模拟)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( ) A．20 B．22 C．24 D．8
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A．63 B．45 C．36 D．27
(1)C (2)C (3)B [(1)设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝100. (2)因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，
所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24. (3)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列． 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45.]
[规律方法] 等差数列的常用性质和结论 1在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2km，n，p，q，k∈N*a1
ann2
，则am＋an＝ap＋aq＝2ak. 2在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列. (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－am－1＝0，S2m－1＝39，则m等于( )
A．39 B．20 C．19 D．10
2Sn2n－3a2*
(2)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N，都有＝，则
Tn4n－3b3＋b13
＋
a14
的值为( ) b5＋b11
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