专题05 全等三角形中的常见辅助线【举一反三】
【人教版】
【考点1 角分线上点向角两边作垂线构全等】
【方法点拨】过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问 题；
【例1】如图，已知BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，BF+BE＝2BD，求证：∠BFP+∠BEP＝180°．
【变式1-1】（2019秋?汉阳区期中）已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D． （1）PC和PD有怎样的数量关系是 ． （2）请你证明（1）得出的结论．
【变式1-2】（2019?北京校级期中）已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上． （1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之； （2）如图2，若∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，
请说明理由．
【变式1-3】（2019秋?东区校级月考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在 直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）
（2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【考点2 截取法构全等】
【方法点拨】利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；
【例2】（2019秋?黄浦区校级期中）已知：在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，且∠C＝60°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+DC．
【变式2-1】已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE， CD，BC的数量关系，并说明理由．
【变式2-2】（2019秋?邵阳期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD为∠BAC的角平分线，求证： AB＝AC+CD
小明同学经过思考，得到如下解题思路：
在AB上截取AE＝AC，连接DE，得到△ADE≌△ADC，从而易证AB＝AC+CD （1）请你根据以上解思路写出证明过程；
（2）如图②，若AD为△ABC的外角∠CAE平分线，交BC的延长线于点D，∠D＝25°，其他条件不变，求∠B的度数．
【变式2-3】（2019?长汀县校级模拟）观察、猜想、探究： 在△ABC中，∠ACB＝2∠B．
（1）如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB＝AC+CD；
（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
人教版八年级数学全等三角形中的常见辅助线(举一反三)(含解析)
