八年级下数学
【分析】（1）根据垂径定理得到OE⊥AC，求得∠AFE＝90°，求得∠EAO＝90°，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠ODB＝∠C，求得tanC＝tan∠ODB＝＝，设HF＝3x，DF＝4x，根据勾股定理得到DF＝
，HF＝
，根据相似三角形的
性质得到CF＝＝，求得AF＝CF＝，设OA＝OD＝x，根据勾股定理即
可得到结论．
【解答】解：（1）∵D是∴OE⊥AC， ∴∠AFE＝90°， ∴∠E+∠EAF＝90°，
∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C， ∴∠CAE＝∠AOE， ∴∠E+∠AOE＝90°， ∴∠EAO＝90°， ∴AE是⊙O的切线； （2）∵∠C＝∠B， ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C， ∴tanC＝tan∠ODB＝
＝，
的中点，
∴设HF＝3x，DF＝4x，
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∴DH＝5x＝9， ∴x＝， ∴DF＝
，HF＝
，
∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD， ∴△DFH∽△CFD， ∴
＝
，
∴CF＝＝，
∴AF＝CF＝，
设OA＝OD＝x， ∴OF＝x﹣
，
∵AF2+OF2＝OA2， ∴（
）2+（x﹣
）2＝x2，
解得：x＝10， ∴OA＝10，
∴直径AB的长为20．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 21．（8分）阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2， （1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
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（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数． 例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数． 证明：设0＜x1＜x2， f（x1）﹣f（x2）＝∵0＜x1＜x2，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0． ∴
＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．
﹣
＝
＝
．
∴f（x1）＞f（x2）．
∴函数f（x）═（x＞0）是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f（x）＝f（﹣1）＝
+x（x＜0），
+（﹣1）＝0，f（﹣2）＝
，f（﹣4）＝ ﹣
+（﹣2）＝﹣ ；
（1）计算：f（﹣3）＝ ﹣（2）猜想：函数f（x）＝
+x（x＜0）是 增 函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题； （2）由（1）结论可得；
（3）根据题目中例子的证明方法可以证明（1）中的猜想成立． 【解答】解：（1）∵f（x）＝∴f（﹣3）＝故答案为：﹣
﹣3＝﹣，﹣
+x（x＜0）， ，f（﹣4）＝
﹣4＝﹣
（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＞f（﹣3） ∴函数f（x）＝故答案为：增
+x（x＜0）是增函数
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（3）设x1＜x2＜0， ∵f（x1）﹣f（x2）＝∵x1＜x2＜0，
∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0 ∴f（x1）＜f（x2） ∴函数f（x）＝
+x（x＜0）是增函数
+x1﹣
﹣x2＝（x1﹣x2）（1﹣
）
【点评】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
22．（11分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．
（1）求线段CE的长；
（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．
①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；
②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． （2）①证明△ADM∽△GMN，可得
＝
，由此即可解决问题．
②存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．分别求解即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，
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∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8， ∴∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x． 在Rt△ABF中，BF＝∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，
在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42， ∴x＝3， ∴EC＝3．
（2）①如图2中，
＝6，
∵AD∥CG， ∴∴
＝
，
＝，
∴CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝16， 在Rt△ABG中，AG＝
＝8
，
2019山东省济宁市中考数学试题（word版，含解析）
