第1讲 计算综合(一)
繁分数的运算,涉及分数与小数的定义新运算问题,综合性较强的计算问题. 1.繁分数的运算必须注意多级分数的处理,如下所示:
甚至可以简单地说:“先算短分数线的,后算长分数线的”.找到最长的分数线,将其上视为分子,其下视为分母.
2.一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数,而不使用带分数.所以需将带分数化为假分数.
3.某些时候将分数线视为除号,可使繁分数的运算更加直观. 4.对于定义新运算,我们只需按题中的定义进行运算即可.
5.本讲要求大家对分数运算有很好的掌握,可参阅《思维导引详解》五年级 [第1讲 循环小数与分数].
711?4?26?27 1.计算:18135813?3?341671?7【分析与解】原式=46?2?1813?123
2312?23?417 481283
2.计算:
【分析与解】 注意,作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有195.于是,我们想到改变运算顺序,9如果分子与分母在19后的两个数字的运算结果一致,那么作为被除数的这个繁分数的值为1;如果不一致,也不会增加我们的计算量.所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序. 而作为除数的繁分数,我们注意两个加数的分母相似,于是统一通分为1995×.
具体过程如下:
595919(?3?5.22)1993?0.41.6910原式=?(?)
5271995?0.5199519(?6?5.22)950519?1.321993?0.44?0.4?0.5=9?(?)
519?1.321995?0.41995?0.591993?20.40.41=1?(=1 ?)=1?19950.50.54
3.计算:1?11?1?111987
【分析与解】原式=1?198619871=1?= 1987397339731?1986
4.计算:已知=
11+2+11x+14?8,则x等于多少? 11【分析与解】方法一:
11+2+11x+14?1?112?44x?1?18x?68??
4x?112x?7111?8x?6交叉相乘有88x+66=96x+56,x=1.25. 方法二:有1?12?1x?14?13182113??2?;所以x??,那么x?. ?1?,所以2?1342388x?4
5.求4,43,443,...,44...43这10个数的和.
9个4 【分析与解】方法一: 4+43+443?...?44...43
9个4 =4?(44?1)?(444?1)?...?(44...4?1)
10个4 =4?44?444?...?44...4?9=
10个44?(9?99?999?...?999...9)?9 910个9 =
4?[(10?1)?(100?1)?(1000?1)?...?(1000...0?1)]?9 910个04?111.100?9=4938271591. 99个1 =
方法二:先计算这10个数的个位数字和为3?9+4=31;
再计算这10个数的十位数字和为4×9=36,加上个位的进位的3,为36?3?39; 再计算这10个数的百位数字和为4×8=32,加上十位的进位的3,为32?3?35; 再计算这10个数的千位数字和为4×7=28,加上百位的进位的3,为28?3?31; 再计算这10个数的万位数字和为4×6=24,加上千位的进位的3,为24?3?27; 再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20,加上万位的进位的2,为20?2?22; 再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16,加上十万位的进位的2,为16?2?18; 再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12,加上百万位的进位的1,为12?1?13; 再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8,加上千万位的进位的1,为8?1?9;
最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4,加上亿位上没有进位,即为4. 所以,这10个数的和为91.
6.如图1-1,每一线段的端点上两数之和算作线段的长度,那么图中6条线段的长度之和是多少?
【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过,所以这6条线段的长度之和为: 3?(?
117?0.6?0.875)?1+0.75+1.8+2.625=6.175=6 3440
7.我们规定,符号“○”表示选择两数中较大数的运算,例如:3.5○=○=.符号“△”表示选择两
23155)?(0.4)33384数中较小数的运算,例如:△=△=.请计算: 1235(0.3)?(2.25)3104(0.625【分析与解】原式
0.625?155384?5?155?27?25 1838412256?2.253
8.规定(3)=2×3×4,(4)=3×4×5,(5)=4×5×6,(10)=9×10×11,….如果那么方框内应填的数是多少? 【分析与解】
111???(16)(17)(17),
?(111(17)16?17?181?)???1=?1?. (16)(17)(17)(16)15?16?175
111111?????中必须去掉哪两个分数,才能使得余下的分数之和等于1? 24681012111111111?,所以,,,的和为l,因此应去掉与. 【分析与解】 因为?612424612810 9.从和式
10.如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数,例如.那么在所有这种数中。最大的一个是多少?
【分析与解】 有整数部分尽可能大,十分位尽可能大,则有92918……较大,于是最大的为9.291892915.
11.请你举一个例子,说明“两个真分数的和可以是一个真分数,而且这三个 分数的分母谁也不是谁的约数”. 【分析与解】 有
114111111??,??,?? 6101510156351410 评注:本题实质可以说是寻找孪生质数,为什么这么说呢? 注意到
11c?a11c?a1,当a?c?b时,有. ?????a?bc?ba?b?ca?bc?ba?b?ca?c 当a、b、c两两互质时,显然满足题意.
显然当a、b、c为质数时一定满足,那么两个质数的和等于另一个质数,必定有一个质数为2,不妨设a为2,那么有2?c?b,显然b、c为一对孪生质数. 即可得出一般公式:
12.计算:(1? 【分析与解】 原式=
111??,c与c+2均为质数即可.
2?(c?2)c?(c?2)2?c111)?(1?)?...?(1?) 2?23?310?10(2?1)?(2?1)(3?1)?(3?1)(10?1)?(10?1)??...?
2?23?310?10