高等数学教学教案 连续函数的运算与初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质

§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性

§1.10 闭区间上连续函数的性质

授课次序08

教 学 基 本 指 标 教学课题 §1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学 §1.10 闭区间上连续函数的性质 教学重点 闭区间上连续函数的性质 参考教材 同济大学编《高等数学（第6版）》 自编教材《高等数学习题课教程》 教学难点 闭区间上连续函数的性质的应用 作业布置 《高等数学》标准化作业 双语教学 连续性：continuity；连续函数：continuous function ；闭区间：closed interval 课堂教学1． 了解初等函数的连续性 2． 理解闭区间上连续函数的性质 目标 1．连续函数的运算（10min）； 教学过程 2．初等函数的连续性（20min）介绍关于连续性的说明及应用连续性求极限的方法 3．闭区间上连续函数的性质（60min）重点介绍零点定理与介值定理的应用 本 节 教 学 设 计 闭区间上连续函数的性质 1．背景及引入方法 函数在某一点连续, 其几何意义是函数的图像在该点处不间断, 同时连续性还控制着该点附近的其它点的函数值变化. 进一步思考一下，当函数的连续点连成一片时, 比如构成一个区间时, 函数的整体性质是否能完全被连1 在(0,1)区间内处处连续, 任给(0,1)内的一点, 函数在该点的某个邻域有界, 但x1函数在(0,1)内整体无界,另外, y?在(0,1)也达不到其值域的下确界1. 如果将区间(0,1)改换成闭区间??,1? x续性所控制住呢？例如y??0???1?, 则函数既有界又能取到最小值, 此时认为函数具有比较好的整体性质. 那么对于其它的连续函数, 在闭区间上是否也有类似的好性质呢？ 回答是肯定的: 闭区间上的连续函数具有若干十分理想而且非常重要的整体性质, 其根源在于闭区间具有所谓的“紧性”. 这些性质还可推广到更抽象的场合中去, 如一般度量空间中的紧集. 法国数学家柯西 ( Cauchy Augustin Louis,1789一1857) 是19世纪微积分严格化过程中最具影响的先驱者, 其最大贡献就是在微积分中引进了清晰和严格的表述与证明方法. 他在这方面的贡献见于三部代表作: 《分析教程》( 1821年)、《无穷小分析教程概论》( 1823年) 和《微分计算教程》( 1829年). 在其著作中柯西曾给出连续函数的零点存在定理: “设 f (x) 是变量x 的一个实函数, 且在x= x0 与x=X 之间关于该变量连续, 如果两个量 f (x0)与f (X) 符号相反, 那么在 x0与X之间至少有一个的实数值 x满足方程 f (x)=0.” 德国数学家外尔斯特拉斯 ( Karl Weierstrass, 1815一1897 ) 关于连续函数的介值定理的叙述是: “如果 x的连续函数对自变量的确定值x1具有确定的函数值y1, 而对另一确定值x2具有确定的函数值y2, 又如果y3是位于y1与 y2 之间的任意值, 则在 x1与 x2 至少有一个值x3, 对于它的函数值取y3 .” 闭区间上的连续函数具有某些重要性质: 有界性, 最值性, 介值定理, 零点特性及一致连续性. 由于工科高等数学中并没有建立起严格的实数理论，上述重要性质的证明有一定困难。但它们都有很直观的的几何背景，便于几何直观解释. 因此讲授此知识点可以采取叙述与几何解释相联系的方法，重在理解和应用. 应用一般有两方面: 证明某些等式或不等式；判断某些方程的根的存在性和范围. 2．难点问题及解决方法 本知识点的难点: (1) 理解定理中闭区间上的连续函数这个条件只是结论成立的充分条件, (2) 应用时的困难在于构造符合定理条件的闭区间和辅助函数(见例5和例6 ). 解决的主要方法是通过几何图示和典型例题的讲解来实现. 3．常见错误分析 常见的错误有: (1)误将定理的充分条件看作充要条件,(2)漏掉或忽略条件--函数连续的验证. 4．与其他知识点的关联 它与以下知识点都有密切联系.（1）函数的极值和定积分的存在性;(2) 有界闭区域上多元连续函数的性质. 5．扩展知识 (1) 代数基本定理的相关知识;（2）不动点的相关知识;（3）集合的紧致性质. 教 学 基 本 内 容 §1?9 连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的和、积及商的连续性 定理1 设函数f(x)和g(x)在点x0连续? 则函数 f(x)?g(x)? f(x)?g(x)?备注栏 f(x)(当g(x0)?0时)在点g(x)x0也连续? f(x)?g(x)连续性的证明? 因为f(x)和g(x)在点x0连续? 所以它们在点x0有定义? 从而f(x)?g(x)在点x0也有定义? 再由连续性和极限运算法则? 有 x?x0lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?f(x0)?g(x0)? x?x0x?x0 根据连续性的定义? f(x)?g(x)在点x0连续? 例1? sin x 和cos x 都在区间(??? ??)内连续?故由定理3知tan x 和cot x 在它们的定义域内是连续的? 三角函数sin x? cos x? sec x? csc x? tan x? cot x在其有定义的区间内都是连续的? 二、反函数与复合函数的连续性 定理2 如果函数f(x)在区间Ix 上单调增加(或单调减少)且连续? 那么它的反函数x?f ?1(y)也在对应的区间Iy ?{y|y?f(x)?x?Ix}上单调增加(或单调减少)且连续? 证明（略）? 例2? 由于y?sin x在区间[??, ?]上单调增加且连续? 所以它的反函数y?arcsin x 在区间[?1? 221]上也是单调增加且连续的? 同样?y?arccos x 在区间[?1? 1]上也是单调减少且连续? y?arctan x 在区间(??? ??)内单调增加且连续?y?arccot x 在区间(??? ??)内单调减少且连续? 总之? 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的? 定理3 设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成? U(x0)?Df?g? 若limg?x)?u0? 而函数y?f(u)在u0连续? 则 x?x0?x?x0limf[g?x)]?limf(u)?f(u0)? u?u0 简要证明 要证?? ?0? ???0? 当0?|x?x0|?? 时? 有|f[g(x)]?f(u0)|?? ? 因为f(u)在u0连续? 所以?? ?0? ???0? 当|u?u0|?? 时? 有|f(u)?f(u0)|?? ? 又g(x)?u0(x?x0)? 所以对上述??0? ???0? 当0?|x?x0|?? 时? 有|g(x)?u0|??? 从而|f[g(x)]?f(u0)|?? ? (2)定理的结论也可写成limf[g(x)]?f[limg(x)]? 求复合函数f[g(x)]的极限时? 函数符号f x?x0x?x0与极限号可以交换次序? limf[u(x)]?limf(u)表明?在定理3的条件下? 如果作代换u?g(x)?那么求limf[g(x)]就转化x?x0u?u0x?x0为求limf(u)? 这里u0?limg(x)? u?u0x?x0 把定理 中的x?x0换成x??? 可得类似的定理? 例3? 求lim提示? y?x?3x?3x?3?limx?3?1lim? 解? ? x?3x2?9x?3x2?9x2?96x?3x?3u?y?u是由与复合而成的? x2?9x2?9 limx2?3?1? 函数y?u在点u?1连续? ?g(x0) x?3x?966 定理4 设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成? U(x0)?Df og? 若函数u?g(x)在点x0连续? 函数y?f(u)在点u0?g(x0)连续? 则复合函数y?f[?(x)]在点x0也连续? 证明? 因为?(x)在点x0连续? 所以lim?(x)??(x0)?u0?又y?f(u)在点u?u0连续? x?x0所以limf[?(x)]?f(u0)?f[?(x0)]?这就证明了复合函数f[?(x)]在点x0连续? x?x0 例4? 讨论函数y?sin1的连续性? x 解? 函数y?sin1是由y?sin u及u?1复合而成的? sin u当??