2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案

2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及

答案

一、选择题（满分36分）

1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是 A. f(x)=x2 B. f(x)=ax2+5 C. f(x)=x2+x

D. －x2+2004

2. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、 、 中，偶函数的个数是 A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3. 恰有3个实数解，则a等于 A. 0

B. 0.5 C. 1

D.

4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1f(x2)，则 A. 2f(a)+f(b)+f(c)=0

B. f(a)+f(b)+f(c)<0

C. f(a)+f(b)+f(c)>0 D. f(a)+2f(b)+f(c)=2004

5. 已知a、b、c、d四个正整数中，a被9除余1，b被9除余3，c被9除余5，d被9除余7，则一定不是完全平方数的两个数是 A. a、b

B. b、c C. c、d D. d、a

6. 正实数列a1，a2，a3，a4，a5中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，且公比不等于1，又a3，a4，a5的倒数成等比数列，则

A. a1，a3，a5成等比数列 B. a1，a3，a5成等差数列

C. a1，a3，a5的倒数成等差数列 D. 6a1，3a3，2a5的倒数成等比数列 二、填空题（满分64分） 1. 已知 ，试确定 的值。

2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。 3. 已知 ，若ab2≠1，且有 ，试确定 的值。

4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？

5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。

6. a和b是关于x的方程x4+m=9x2的两个根，且满足a+b=4，试确定m的值。

7. 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。

8. 将2004表示为n个彼此不等的正整数的和，求n的最大值。 初赛答案表

选择题：ADCBBA；填空题：1、－0.5 2、1 3、－1 4、10 5、[ ， ] 6、49/4 7、1/16 8、62