特殊行列式及行列式计算方法总结
几类特殊行列式
1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材 P7例5、例 6） 2. 以副对角线为标准的行列式
L 0
0 L 0
a1n
a11 a12
a1n
L 0 0
L 0 L
0
a2, n 1
a2n
a21 a22
0 M M M M
M
M
0 L a2, n 1M M M
0 N
0 0
0
0an 1,2 L an 1,n 1 an 1,n
ann
0
an1 an2
L
an ,n 1
ann
an1 L
0
n( n 1)
( 1) 2 a1n a2,n 1 L
an1
3. 分块行列式（教材 P14 例 10 ）
般化结果：
An
C
nm
A0n
n m
0m n
BCB m
mn
m
An Bm
0nm An
Cn m An
mn
n Bm Cm n Bm 0mn
( 1) ABm
4. 范德蒙行列式（教材 P18 例 12 ） 注：4 种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！ ！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材 P2、 P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】
1） 利用行列式定义直接计算特殊行列式；
2） 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；
a1n 0 0 0
3） 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用
于行列式的某一行或某一列中有很多零元素， 并且非零元素的代数 余子式很容易计算；
4） 递推法或数学归纳法；
5） 升阶法（又称加边法） 【常见的化简行列式的方法】 1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式
例 1 （ 2001 年考研题）
分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，
0 0
0 L 0 L
0 1 2 0
因此很容易联想到直接利用行 0 0 M 0
M M M M M 0 1999 L 0 0
2000 0 L 0 0 0
0 0 L 0 0 2001
列式定义进行计算 解法一：定义法
D ( 1)
(n 1,n 2,...,2,1, n)
2001! ( 1)0 1 2 ... 1999 0 2001! 2001!
解法二：行列式性质法
利用行列式性质 2 把最后一行依次与第 n-1, n-2, ?,2,1 行交换（这里 n=2001 ）， 次换行以后， 变成副对角行列式。 即进行 2000
0
0 0
0
L L L
0 0 2001
0 0
2001 1
0 1 2 0
0 0 M
2001 (2001 1)
D ( 1)
M M M M M
( 1)2001 1( 1) 2 2001! 2001!
0 1999 L 0 0 2000 0 L 0 0
0 0
解法三：分块法
0 0 L 0 0 L M M M M M M 0 1999 L 2000 0 L 0
0
L
0 1
2 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 2001
利用分块行列式的结果可以得到
D=2001
00 00 MM 0 1999 2000 0
L 0 1 L 2 0 2000(2000-1)
=2001 (-1) 2 2000!=2001！ M M M
L 0 0
L
0 0 解法四：降阶定理展开 按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算
2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式 例2
1 a 1
1 1 a 1 1 1 1 b 1 1 1 1 1 b
1
1 1
分析：该行列式的特点是 1 很多，可以通过 r1 r2和 r3 r4来将行列式中的很多 1 化成 0. 解：
线性代数的---特殊行列式及行列式计算方法总结材料
