向 量
1.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向.
(2)向量的表示：几何表示法 AB；字母表示：a；
坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. (4)特殊的向量：零向量a＝O?｜a｜＝O.
单位向量aO为单位向量?｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）???x1?x2
?y1?y2(6) 相反向量：a=-b?b=-a?a+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.
2..向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 向量的 减法 三角形法则 AB??BA,OB?OA?AB 1.?a是一个向量,满数 乘 向 量 足:|?a|?|?||a| 2.?>0时, ?a与a同向; ?<0时, ?a与a异向; ?=0时, ?a?0. a?b是一个数 向 量 的 数 量 积 1.a?0或b?0时， a?b?0. 2. a?0且b?0时，ab?|a||b|cos(a,b) 3.向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：a?b?a?b?a?b． ⑷运算性质：①交换律：a?b?b?a；
②结合律：a?b?c?a?b?c；③a?0?0?a?a．
⑸坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?． 4.向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?． 设?、?两点的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?，则????x1?x2,y1?y2?． 5.向量数乘运算：
⑴实数?与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作?a． ①
?????a??a；
②当??0时，?a的方向与a的方向相同；当??0时，?a的方向与a的方向相反；当??0时，?a?0． ⑵运算律：①???a??????a；②?????a??a??a；③?a?b??a??b． ⑶坐标运算：设a??x,y?，则?a???x,y????x,?y?．
6.向量共线定理：向量aa?0与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a．
设a??x1,y1?，b??x2,y2?，其中b?0，则当且仅当x1y2?x2y1?0时，向量a、bb?0共线． 7.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数?1、?2，使a??1e1??2e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底）
8.分点坐标公式：设点?是线段?1?2上的一点，?1、?2的坐标分别是?x1,y1?，?x2,y2?，当?1?????2时，点?的坐标是????????x1??x2y1??y2?, ?．（当??1时，就为中点公式。）1??1????9.平面向量的数量积：
⑴a?b?abcos?a?0,b?0,0???180．零向量与任一向量的数量积为0．
⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a?b?a?b?0．②当a与b同向时，a?b?ab；当a与b反向时，a?b??ab；a?a?a?a或a?a?a．③a?b?ab．
22??⑶运算律：①a?b?b?a；②??a??b??a?b?a??b；③a?b?c?a?c?b?c． ⑷坐标运算：设两个非零向量a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2． 若a??x,y?，则a?x?y222??????，或a?x2?y2． 设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则
a?b?x1x2?y1y2?0．
设a、b都是非零向量，a??x1,y1?，b??x2,y2?，
?是a与b的夹角，则
cos??a?bab?x1x2?y1y2x?y2121x?y2222．
⑤线段的定比分点公式：（??0和?1）
y1??y2?y????11?? （x1,y1）,(x,y),(x2,y2)，则?设 P1P=?PP2（或P2P=PP1），且P1,P,P2的坐标分别是???x?x1??x2?1??B?My1?y2?y??2 推广1：当??1时，得线段P1P2的中点公式：???x?x1?x2??2AP推广2：AM??则PM?PA??PB（?对应终点向量）．
MB1??x1?x2?x3?x??3三角形重心坐标公式：△ABC的顶点A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，重心坐标G?x,y?：? ??y?y1?y2?y3?3?注意：在△ABC中，若0为重心，则OA?OB?OC?0，这是充要条件．
'???x?x?h'‘'⑥平移公式：若点P?x,y?按向量a=?h,k?平移到Px,y，则?
'??y?y?k??4．（1）正弦定理：设△ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则
abc???2R． sinAsinBsinC?a2?b2?c2?2bccosAA?B?tan?2222 （2）余弦定理：?b?a?c?2accosB （3）正切定理：a?b?A?Ba?b?2tanc?b2?a2?2abcosC?2? （4）三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r．
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc
②S△=Pr
高考文科数学向量专题讲解及高考真题含答案
