第二十讲 数学建模
趣题引路】
某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元。因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5m3污水排出，为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理.方案1：工厂污水先净化处理后再排出；每处理1m3污水所有原材料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理1m3污水需付14元排污费．
问题：（1）设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时y与x的函数关系式；（2）设工厂每月生产量为6000件产品时，你若作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选用哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明．
解析（1）设选用方案1，每月利润为y1，元，选用方案2，每月利润为y2，元，则： y1=(50-25) x-2×0.5x-30000=24x-30000，y2=(50-25) x-14×0.5x=18x． 故y1=24x-30000，y2=18x；
（2）当x=6000时，y1=24×6000-30000=114000（元），y2=18x=18×6000=108000（元） ∴y1>y2．
答：我若作为厂长，应选方案1．
点评 本例是生产经营决策问题，其难点在于建立相应的数学模型，构建函数关系式，然后，通过问题中所给的条件判断，若不能判断，就要进行分类讨论．
知识延伸】
例 某工厂有14m长的旧墙一面，现在准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件为：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为建造1m新墙的费用为
a元；③拆去1m旧墙，用所得材料4a元，经过讨论有两种方案；（I）利用旧墙的一段x m（x<14）为矩形厂房一面的边2长；（Ⅱ）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x（x≥14）.问：如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？（I）（Ⅱ）两种方案哪个更好？
解析 设利用旧墙的一面矩形边长为x m，则矩形的另一边长为
126m． xa（I）利用旧墙的一段x m(x<14)为矩形一面边长，则修旧墙费用为x·元，将剩余的旧墙拆得材料建新
4a2?126墙的费用为(14-x)·号元，其余建新墙的费用为(2x+-14)·a元．
2x故总费用为y?x?a14?x252???x36?（0 42x4x????() ??x36x36∴y?7a?2，即x=12 m时，ymin=35a（元）； ??1??35a.当且仅当?4x4x??（Ⅱ）若利用旧墙的一面矩形边长x≥14，则修旧墙的费用为（2x+ 252-14）a元 xa7·14=a元，建新墙的费用为42故总费用为y?72527126????a??2x??14?a?a?2a?x??7?（x≥14） 2x2x????设14≤x1 126-14在区间(14，+∞)上为增函数． x7126a+2a(14+-7)=35.5a>35a 214故当x=14时，ymin= 综上讨论可知，采用第（I）方案，建墙总费用最省，为35a元． 点评 解答选择方案应用题同处理其他应用题一样，重点要过好三关（1）事理关：读懂题意，知道讲的是什么事情，要比较的对象是什么；（2）文理关：把实际问题文字语言转化为数学的符号语言，然后用数学式子表达数学关系式；（3）数理关：在构建数学模型的过程中，要对数学知识有检索的能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化． 好题妙解】 佳题新题品味 例 在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出他们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每月工资比上一年工资增加230元；B公司允诺第一个月工资为2000元，以后每月工资在上一年月工资基础上递增5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取、试问： （1）若该人打算在A公司或B公司连续工作n年，则他第n年的月工资收入各为多少？ （2）如该人打算连续在一家公司工作10年，仅以工资收入来看，该人去哪家公司较合算？ 解析（1）此人在A、B公司第n年的月工资数分别为an=1500+230(n-1)，bn=2000(1+5%)n-1，其中n为正整数； （2）若该人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12(a1+a2+……+a10)=304200（元）.若该人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12(b1+b2+……+b10) =301869（元）故该人应选择在A公司工作． 点评 最佳方案的选择问题充分体现了数学在生活中的无穷乐趣，同时也从数学角度诠释了“知识就是力量”，“知识就是财富”的道理． () 中考真题欣赏 例 （长沙市）某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系： x y 3 18 4 （1）在所给的直角坐标系（图1）中： ①根据提供的数据描出实数对（x，y）对应点； ②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数关系式，并画出图象． y245 19 6 11 2 O12x （2）设经营此商品的日销售利润为p元，根据日销售规律： ①试求出日销售利润p元与日销售单价x元之间的函数关系式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问：日销售利润p是否存在最小值？若有，试求出，若无，试说明理由； ②在给定的直角坐标系中，画出日销售利润p元与日销售单价x元之间的函数图象，观察图象，写出x与p的取值范围． 解析（1）①准确描出四点位置； ②猜测它是一次函数y=kx+b， 由两点（3，18），（5，14）代人上式求得k=-2，b=24，则有y=-2x+24.（9，6），（11，2）代人同样满足，∴所求函数关系式为y=-2x+24.由实际意义知，所求函数关系式为：y=-2x+24（0≤x<12）和y=0（x≥12）． （2）①p=xy-2y，即p=y(x-2)=( 24-2x)(x-2) =-2x2+28x-48=-2(x-7)2+50． 当x=7时，日销售利润取最大值50元． 当x>12时，此时无人购买，故此时利润p=0（x≥12）． 由实际意义知，当销售价x=0即亏完本卖出，此时利润p=-48，即为最小值； ②据实际意义有：0≤x<2时，亏本卖出． 当x=2或x=12时，利润p=0.当x>12时，即高价卖出，无人购买，p=0.故作出图象，（图2）由图象知，x≥0，-48≤p≤50． ()
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲 数学建模(含答案)
