0.00478 有效数字为4位时，记为4.780*10
-3
有效数字为3位时，记为4.78*10 -3
有效数字为2位时，记为4.7*10
2、有效数字运算规则
（1）记录测量数值时，只保留一位可疑数字。
（2）当有效数字位数确定后，其余数字一律舍弃。舍弃办法是四舍六入，即末位有效数字后边第一位小于5，则舍弃不计；大于5则在前一位数上增1；等于5时，前一位为奇数，则进1为偶数，前一位为偶数，则舍弃不计。这种舍入原则可简述为：“小则舍，大则入，正好等于奇变偶”。如：保留4位有效数字 3.71729→3.717;
5.14285→5.143 7.62356→7.624 9.37656→9.376
（3）在加减计算中，各数所保留的位数，应与各数中小数点后位数最少的相同。例如将24.65 0.0082 1.632三个数字相加时，应写为 24.65 + 0.01 + 1.63 = 26.29。
（4）在乘除运算中，各数所保留的位数，以各数中有效数字位数最少的那个数为准；其结果的有效数字位数亦应与原来各数中有效数字最少的那个数相同。例如：
0.0121×25.64×1.05782应写成0.0121×25.64×1.06=0.328。上例说明，虽然这三个数的乘积为0.3281823，但只应取其积为0.328。
（5）在对数计算中，所取对数位数应与真数有效数字位数相同。 三、误差的基本性质
在化工原理实验中通常直接测量或间接测量得到有关的参数数据，这些参数数据的可靠程度如何？如何提高其可靠性？因此，必须研究在给定条件下误差的基本性质和变化规律。
1、误差的正态分布
如果测量数列中不包括系统误差和过失误差，从大量的实验中发现偶然误差的大小有如下几个特征：
（1）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多，即误差的概率与误差的大小有关。这是误差的单峰性。
（2）绝对值相等的正误差或负误差出现的次数相当，即误差的概率相同。这是误差的对称性。
（3）极大的正误差或负误差出现的概率都非常小，即大的误差一般不会出现。这是误差的有界性。
（4）随着测量次数的增加，偶然误差的算术平均值趋近于零。这叫误差的低偿性。
根据上述的误差特征，可疑的出误差出现的概率分布图，如图2-2所示。图中横坐标表示偶然误差，纵坐标表示个误差出现的概率，图中曲线称为误差分布曲线，以y?f(x)表示。其数学表达式有高斯提出，具体形式为：
y?12??e?x22?2-3
(2--20)
或 y?h?e?h22x (2--21)
上式称为高斯误差分布定律亦称为误差方程。式中σ为标准误差，h为精确度指数，σ和h的关系为 y?1 (2--22)
2?若误差按函数关系分布，则称为正态分布。σ越小，测量精度越高，分布曲线的峰越高切窄；σ越大，分布曲线越平坦且越宽，如图1-3所示。由此可知，σ越小，小误差占的比重越大，测量精度越高。反之，则大误差占的比重越大，测量精度越低。
2、测量集合的最佳值
在测量精度相同的情况下，测量一系列观测
值M1,M2,M3,……,Mn所组成的测量集合，假设 图 2-2 误差分布 其平均值为Mm,则各次测量误差为
xi?Mi?Mm, i=1、2…n，
当采用不同的方法计算平均值时，所得到误差值不同，误差出现的概率亦不同。若选取适当的计算方法，使误差最小，而概率最大，由此计算的平均值为最佳值。根据高斯分布定律，只有各点误差平方和最小，才能实现概率最大。这就是最小乘法值。由此可见，对于一组精度相同的观测值，采用算术平均得到的值是该组观测值的
最佳值。 图2-3 不同σ的误差分布曲线
3、 有限测量次数中标准误差σ的计算
由误差基本概念知，误差是观测值和真值之差。在没有系统误差存在的情况下，以无限多次测量所得到的算术平均值为真值。当测量次数为有限时，所得到的算术平均值近似于真值，称最佳值。因此，观测值与真值之差不同于观测值与最佳值之差。
令真值为A，计算平均值为a，观测值为M，并令d=M-a，D=M-A，则 d1?M1?a, D1?M1?A d2?M2?a, D2?M2?A
…………… …………… dn?Mn?a, Dn?Mn?A
?di??Mi?na ?Di??Mi?nA 因为 ?Mi?na?0 ?Mi?na 代入?Di??Mi?nA中，即得 a?A??Di
n （2—23）
将式（2—23）式代入di =Mi -a中得
di?(Mi?A)??Di?Di??Di （2—24）
nn将式（2—24）两边各平方得 d12?Di2?2D1?Di?(?Di)2
nn d22?D22?2D2?Di?(?Di)2
nn …………… …………… dn2?Dn2?2Dn?Di?(?Di)2
nn对i求和
?d2i??D?22i(?Di)2n?n(?D)
i2n因在测量中正负误差出现的机会相等，故将（ΣDi）2展开后，D1﹒D2、D1 ﹒D3…，为正为负的数目相等，彼此相消，故得
?d2i??D2i?D?2n2i?D ?n2in2?d2i?n?1Di2 ?n从上式可以看出，在有限测量次数中，自算数平均值计算的误差平方和永远小于自真值计
算的误差平方和。根据标准误差的定义
??2i
?Dn2i
式中ΣD代表观测次数为无限多时误差的平方和，故当观测次数有限时， ???d2i （2—25）
n?1 4．可疑观测值的舍弃
由概率积分知，随机误差正态分布曲线下的全部积分，相当于全部误差同时出现的概率， 即 p??2??1???e?x22?2dx?1 （2—26）
若误差x以标准误差σ的倍数表示，即x=tσ，则在±tσ范围内出现的概率为2Φ(t)，超
出这个范围的概率为1-2Φ(t)。Φ(t)称为概率函数，表示为 ?(t)?12?2Φ(t)与t的对应值在数学手册或专著中均附有此类积分表，读者需要时可自行查取。在使用积分表时，需已知t值。由表2-1和图（2-4）给出几个典型及其相应的超出或不超出|x|的概率。
由表2-1知，当t=3, |x|=3σ时，在370次观测中只有一次测量的误差超过3σ范围。在有限次的观测中，一般测量次数不超过十次，可以认为误差大于3σ，可能是由于过失误差或实验条件变化未被发觉等原因引起的。因此，凡是误差大于3σ的数据点予以舍弃。这种判断可疑实验数据的原则称为3σ准则。
5．函数误差
上述讨论主要是直接测量的误差计算问题，但在许多场合下，往往涉及间接测量的变量，所谓间接测量是通过直接测量的量之间有一定的函数关系，并根据函数被测的量，如传热问题
0?et?t22dt （2—27）
中的传热速率。因此，间接测量值就是直接测量得到的各个测量值的函数。其测量误差是各个测量值误差的函数。
图 2-4 误差分布曲线的积分
表2-1 误差概率和出现次数
t 0.67 1 2 3 4 |x|=tσ 0.67σ 1σ 2σ 3σ 4σ 不超出|x|的 概率2φ(t) 0.49714 0.68269 0.95450 0.99730 0.99991 超出|x|的概率 1-2φ(t) 0.50286 0.31731 0.04550 0.00270 0.00009 测量次数 n 2 3 22 370 11111 超出|x|的测量次数 1 1 1 1 1
（1） 函数误差的一般形式 在间接测量中，一般为多元函数，而多元函数可用下式表示：
y= f (x1,x2,…,xn) （2—28） 式中 y—间接测量值； xi—直接测量值。
由台劳级数展开得
?y??f?x1??f?x2????f?xn?x1i?1?x2?xn （2—29）
n或 ?y???f?xi
?xi它的最大绝对误差为?y???x?xi?1in?fi （2—30）
式中 ?f —误差传递系数；
?xi Δxi —直接测量值的误差；
Δy — 间接测量值的最大绝对误差。
函数的相对误差δ为
?y?f?x1?f?x2?f?xn ???????y?x1y?x2y?xny （2—31）
??f?f?f?1??2????n?x1?x2?xn（2）某些函数误差的计算
① 函数y=x±z绝对误差和相对误差
由于误差传递系数?f?1,?f??1，则函数最大绝对误差
?x?z Δy=±（|Δx|+|Δz|） （2—32）
?x??z相对误差 ?r??y?? （2—33）
yx?z②函数形式为y?Kxz，x、z、w为变量 w误差传递系数为： ?y?Kz
?xw ?y?Kx ?zw ?y??Kxz ?ww2函数的最大绝对误差为
?y?Kz?x?Kx?z?Kxz?w （2—34）
www2函数的最大相对误差为
?r??y??x??z??w （2—35）
yxzw现将某些常用函数的最大绝对误差和相对误差列于表2—2中。 [例2-3] 用量热器测定固体比热容时采用的公式 Cp?M(t2?t0)CpH2O
m(t1?t2)式中 M—量热器内水的质量 m—被测物体的质量 t0— 测量前水的温度
t1— 放入量热器前物体的温度 t2— 测量时水的温度
CpH2O—水的热容，4.187Kj/(kg.·K)
测量结果如下：
M=250±0.2g m=62.31±0.02g t0=13.52±0.01℃ t1=99.32±0.04℃ t2=17.79±0.01℃
试求测量物的比热容之真值，并确定能否提高测量精度。
解：根据题意，计算函数之真值，需计算各变量的绝对误差和误差传递系数。为了简化计算，令θ0=t2--t0=4.27℃, θ1=t1—t2=81.53℃,.
实验数据误差分析和数据处理
