第三章 导数
一．基础题组
1.【2009天津，文10】设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)＞x.下面的不等式在R上恒成立的是( )
A.f(x)＞0 B.f(x)＜0 C.f(x)＞x D.f(x)＜x 【答案】A
【解析】特殊值法:由于2f(x)+xf′(x)＞x2成立,取特殊值x＝0,则有2f(x)＞0,即f(x)＞0.
2. 【2015高考天津，文11】已知函数f?x??axlnx,x??0,??? ,其中a为实数,f??x?为f?x?的导函数,若f??1??3 ,则a的值为 ． 【答案】3
【解析】因为f??x??a?1?lnx? ,所以f??1??a?3. 【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.
x3.【2016高考天津文数】已知函数f(x)?(2x+1)e,f?(x)为f(x)的导函数，则f?(0)的值
2
为__________. 【答案】3 【解析】 试题分析：
f?(x)?(2x+3)ex,?f?(0)?3.
【考点】导数
【名师点睛】求函数的导数的方法：
(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；
(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导； (4)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；
(5)不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．
二．能力题组
1.【2005天津，文21】已知m?R，设
1 / 22
2P：x1和x2是方程x2?ax?2?0的两个实根，不等式m?5m?3?x1?x2对任意实a?[?1,1]恒成立；
4Q：函数f(x)?x3?mx2?(m?)x?6在(??,??)上有极值． 3求使P正确且Q正确的m的取值范围． 【答案】(-?,1)?(4,5]?[6,??)
(Ⅱ)对函数f(x)?x?mx?(m?)x?6求导f'(x)?3x?2mx?m?2令f'(x)?0，即3x?2mx?m?324324 34?0此一元二次不等式的判别式 34??4m2?12(m?)?4m2?12m?16 3若?＝0，则f'(x)?0有两个相等的实根x0，且f'(x)的符号如下： (－?,x0) x0 (x0,+?) 2 / 22
+ 0 + 因为，f(x0)不是函数f(x)的极值
若?>0，则f'(x)?0有两个不相等的实根x1和x2 (x1
综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为(-?,1)?(4,5]?[6,??) 2.【2006天津，文20】已知函数f(x)?4x?3xcos??321,其中x?R,?为参数，且320???2?.
（I）当cos??0时，判断函数f(x)是否有极值；
（II）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数?的取值范围；
（III）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数?，函数f(x)在区间
(2a?1,a)内都是增函数，求实数a的取值范围。
【答案】（I）无极值，（II）?3????2，（III）(??,0][,1). 358【解析】（I）解：当cos??0时f(x)?4x?无极值。
1,则f(x)在(??,??)内是增函数，故322（II）解：f'(x)?12x?6xcos?,令f'(x)?0,得
由0???x1?0,x2?cos?. 2?2及（I），只需考虑cos??0的情况。 当x变化时，f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：
3 / 22
(天津版)高考数学分项版解析专题03导数文
