§6.3 等比数列及其前n项和
最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 3.了解等比数列与指数函数的关系. 考情考向分析 以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·q3．等比中项
如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，n－1
(a1≠0，q≠0)．
GbaGG2＝ab，G＝±ab，称G为a，b的等比中项．
4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N)．
*
*
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N)，则ak·al＝am·an.
?1??an?2
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，??，{an}，{an·bn}，??仍是等比
?an?
?bn?
数列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1；
1
a1?1－qn?a1－anq当q≠1时，Sn＝＝.
1－q1－q6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为q. 知识拓展
等比数列{an}的单调性 (1)满足?
?a1>0，???q>1
n??a1>0，
(2)满足?
??0 (3)当? ??q＝1 或? ?a1<0，???0 ??a1<0，或???q>1 时，{an}是递增数列． 时，{an}是递减数列． 时，{an}为常数列． (4)当q<0时，{an}为摆动数列． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N，q为常数)的数列{an}为等比数列．( × ) (2)G为a，b的等比中项?G＝ab.( × ) (3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( × ) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × ) 2 * a?1－an? (5)数列{an}的通项公式是an＝a，则其前n项和为Sn＝.( × ) 1－an(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( × ) 题组二 教材改编 1 2．[P51例3]已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝______. 41答案 2 a5113 解析 由题意知q＝＝，∴q＝. a282 3．[P54A组T8]在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81 2 解析 设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q，q＝27，∴q＝3. ∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 题组三 易错自纠 4．若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则1 答案 － 2 解析 ∵1，a1，a2,4成等差数列， ∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1. 又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b2＝1×4＝4，且b2＝1×q>0，∴b2＝2， ∴ 2 2 3 3 a1－a2 的值为________． b2 a1－a2－?a2－a1?1 ＝＝－. b2b22 S5 S2 5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________. 答案 －11 解析 设等比数列{an}的公比为q， ∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q＝0. ∴q＋8＝0，∴q＝－2， 3 4 S5a1?1－q5?1－q∴＝· S21－qa1?1－q2? 1－q1－?－2?＝＝－11. 2＝1－q1－4 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝2 KB)． 答案 48 解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2， 则2＝64×2＝2，∴n＝16. 即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟). n10 16 10 5 5 n 题型一 等比数列基本量的运算 3 1 1．(2018·开封质检)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( ) 411 A．2 B．1 C. D. 28答案 C 解析 由{an}为等比数列，得a3a5＝a4， 又a3a5＝4(a4－1)，所以a4＝4(a4－1)， 解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q， 133 则由a4＝a1q，得2＝q，解得q＝2， 41 所以a2＝a1q＝.故选C. 2 55Sn2．(2018·济宁模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝ 24an________. 答案 2－1 5 a＋a＝，??2 解析 ∵?5 a＋a＝，??4 1 3 2 4 2 2 n ??∴?5 aq＋aq＝， ②??4 3 1 1 2 a1＋a1q2＝， ① 5 2 1＋q由①除以②可得＝2， q＋q31 解得q＝，代入①得a1＝2， 2 ?1?n－14 ∴an＝2×??＝n， 2?2???1?n?2×?1－??? ??2???1? ∴Sn＝＝4?1－n?， 1?2?1－2?1?4?1－n?Sn?2?n∴＝＝2－1. an4 n2 4 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q， an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 题型二 等比数列的判定与证明 典例 (2018·潍坊质检)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 得a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. ??Sn＋1＝4an＋2， ①又???Sn＝4an－1＋2?n≥2?， ② 由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2∴ n－1 ， an＋1an3 2 n＋1 －n＝， 24 ?an?13 故?n?是首项为，公差为的等差数列． 24?2? an133n－1 ∴n＝＋(n－1)·＝， 2244 故an＝(3n－1)·2引申探究 若将本例中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列{an}的通项公式． 解 由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n. ∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1， ∴an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2，(*) 又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，即a2＋1＝2(a1＋1)， ∴当n＝1时(*)式也成立， 故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴an＋1＝2·2 n－1 n－2 . ＝2，∴an＝2－1. nn思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． 5
(全国通用)高考数学大一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和学案
