2021年高考数学复习演练第五章平面向量（含
20212021年真题）
考点1 平面向量的概念及坐标运算
→→
1.(2020·新课标全国Ⅰ，7)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( ) 1→4→→→1→4→→4→1→→4→1→
A.AD＝－AB＋AC B.AD＝AB－AC C.AD＝AB＋AC D.AD＝AB－AC
33333333→→→→→→→→→
1.A[∵BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，即4AC－AB＝3AD， 1→4→→
∴AD＝－AB＋AC.]
33
2.(2020·湖南，8)已知点A，B，C在圆x＋y＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，→→→
则|PA＋PB＋PC|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9
→→→22
2.B [由A,B,C在圆x＋y＝1上,且AB⊥BC,∴AC为圆直径,故PA＋PC＝2PO＝(－4，0),设
2
2
B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[-1,1]，PB＝(x－2，y)，因此PA＋PB＋PC＝(x-6，y).故|PA＋
→→
PB＋PC|＝－12x＋37，∴x＝－1时有最大值49＝7，故选B.]
3.(2020·福建，8)在下列向量组中，能够把向量a＝(3,2)表示出来的是( ) A.e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B.e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
3.B [法一 若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若
→→→→→
e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，因为－12
≠，因此e1，e2不共线，依照共面向量的差不多5－2
定理，能够把向量a＝(3，2)表示出来，故选B.
法二 因为a＝(3，2)，若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋
μe2，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，
则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，
???3＝－λ＋5μ，?λ＝2，
因此?解得?因此a＝2e1＋e2，故选B.]
??2＝2λ－2μ，μ＝1.??
4.(2020·安徽，10)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，→→
点Q满足OQ＝2(a＋b).曲线C＝{P|OP＝acosθ＋bcosθ，0≤θ<2π}，区域Ω＝
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→
{P|0 4.A [由已知可设OA＝a＝(1，0)，OB＝b＝(0，1)，P(x，y)，则OQ＝(2，2)，曲线C→→22 ＝{P|OP＝(cosθ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C：x＋y＝1，区域Ω＝{P|0 r 如图所示，要使C∩Ω为两段分离的曲线，只有1 5.（2021?浙江,15）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是________，最大值是________． 5. 4； 记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：| + |= ，则x+y=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图， 2 2 ， | ﹣ |= 令z=x+y，则y=﹣x+z，则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4， 当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的 倍，也确实是圆弧MN所在圆的半径的 倍，因此zmax= × = ． ． 综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ．故答案为：4、 6.（2021?江苏,12）如图，在同一个平面内，向量 与 的夹角为α，且tanα=7， 与 ， ， 的模分别为1，1， =m +n ， 的夹角为45°．若 （m， n∈R），则m+n=________． 2 / 14 6. 3 如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由 与 的夹角为α，且tanα=7． ∴cosα= ，sinα= ．∴C ．cos（α+45）= ° （cosα﹣sinα）= ． sin（α+45）= ° （sinα+cosα）= ．∴B ．∵ =m +n （m，n ∈R），∴ =m﹣ n， =0+ n，解得n= ，m= ． 则m+n=3．故答案为：3． 7.(2021·全国Ⅰ，13)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则m＝________. 7.－2[由|a＋b|＝|a|＋|b|，得a⊥b，因此m×1＋1×2＝0，得m＝－2.] 8.(2020·新课标全国Ⅱ，13)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________. 1 8. [∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯独的实数2 ??λ＝μ，1 μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得?解得λ＝μ＝.] 2??1＝2μ， 2 2 2 2 2 2 →→→→→→→ 9.(2020·北京，13)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________；y＝________. 11→→→1→1→1→1→→1→1→9. － [MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB－AC， 26323226 3 / 14
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