18．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝(1)证明：BC1∥平面A1CD； (2)求二面角D－A1C－E的正弦值．
(1)证明 连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点． 又D是AB的中点，连结DF，则BC1∥DF. 因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD.
2AB. 2
(2)解 由AC＝CB＝
2
AB得，AC⊥BC. 2
→→→
以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，CB的方向为y轴正方向，CC1的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
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设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)， →→→
CD＝(1,1,0)，CE＝(0,2,1)，CA1＝(2,0,2)． 设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量， →→则n·CD＝0，n·CA1＝0，即x1＋y1＝0，同理，设m是平面A1CE的法向量，
→→则m·CE＝0，m·CA1＝0.可取m＝(2,1，－2)． n·m36
从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.
|n||m|33即二面角D－A1C－E的正弦值为6
. 3
{{
{
2x1＋2z1＝0.可取n＝(1，－1，－1)．
19．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位： t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若x∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的T的数学期望． 解 (1)当X∈[100,130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
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所以T＝800X－39 000，100≤X<130，
{
65 000，130≤X≤150.
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T P 45 000 0.1 53 000 0.2 61 000 0.3 65 000 0.4 所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400. x2y2
20．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－3＝0交M于A，B两点，P为
ab1
AB的中点，且OP的斜率为. 2(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形的最大值． 解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x2y211
＋2＝1① 2abx2y222
＋2＝1② 2
ab
?x1－x2??x1＋x2??y1－y2??y1＋y2?
①－②，得＋＝0.
a2b2y1－y2
因为＝－1，设P(x0，y0)，
x1－x2
1
因为P为AB的中点，且OP的斜率为，
211
所以y0＝x0，即y1＋y2＝(x1＋x2)．
22
所以可以解得a2＝2b2，即a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2， 又因为c＝3，所以a2＝6， x2y2
所以M的方程为＋＝1.
63
(2)因为CD⊥AB，直线AB方程为x＋y－3＝0， 所以设直线CD方程为y＝x＋m，
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x2y2
将x＋y－3＝0代入＋＝1得：
633x2－43x＝0，即A(0，3)，B?46
所以可得|AB|＝；
3
x2y2
将y＝x＋m代入＋＝1得：
633x2＋4mx＋2m2－6＝0， 设C(x3，y3)，D(x4，y4)， 则|CD|＝222?x3＋x4?2－4x3x4＝
3
18－2m2， 433?， ，－3??3
又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3 186 所以当m＝0时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为|AB|·|CD|＝. 2321．已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. 11 (1)解 f(x)＝ex－ln(x＋m)?f′(x)＝ex－?f′(0)＝e0－＝0?m＝1， x＋m0＋m定义域为{x|x>－1}， ex?x＋1?－11 f′(x)＝ex－＝， x＋mx＋1 显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明 令g(x)＝ex－ln(x＋2)， 1 则g′(x)＝ex－(x>－2)． x＋2 11 h(x)＝g′(x)＝ex－(x>－2)?h′(x)＝ex＋>0， x＋2?x＋2?2所以h(x)是增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根， 1111 又g′(－)＝－<0，g′(0)＝1－>0， 22e3 2 1 －，0?内， 所以h(x)＝g′(x)＝0的唯一实根在区间??2? 第 19 页 共 22 页 111－t， － 所以g(x)min＝g(t)＝e－ln(t＋2)＝＋t＝>0， t＋2t＋2 t 当m≤2时，有ln(x＋m)≤ln(x＋2)， 所以f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)＝g(x)≥g(x)min>0. 22．[选修4－1]几何证明选讲 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B、E、F、C四点共圆． (1)证明：CA是△ABC外接圆的直径； (2)若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值． (1)证明 因为CD为△ABC外接圆的切线， 所以∠DCB＝∠A，由题设知故△CDB∽△AEF， 所以∠DBC＝∠EFA. 因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC， 故∠EFA＝∠CFE＝90°. 所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径． 第 20 页 共 22 页 BCDC＝， FAEA
2013年高考新课标ii卷理科数学试题及答案
