D．α与β相交，且交线平行于l 答案 D
解析 假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l.
5．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于( ) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 答案 D
1221
解析 (1＋ax)(1＋x)5中含x2的项为：(C25＋C5a)x，即C5＋C5a＝5，a＝－1.
6．执行右面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( ) 111A．1＋＋＋…＋
2310111
B．1＋＋＋…＋
2！3！10！111
C．1＋＋＋…＋
2311111
D．1＋＋＋…＋
2！3！11！答案 B
1
解析 k＝1，T＝，S＝1，
1111
k＝2，T＝＝，S＝1＋，
1×22！2！1111
k＝3，T＝＝，S＝1＋＋，
1×2×33！2！3！…
由于N＝10，即k>10时，结束循环，共执行10次． 所以输出S＝1＋
111
＋＋…＋. 2！3！10！
7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,1,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为( )
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答案 A
解析 在空间直角坐标系中，先画出四面体O－ABC的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图，所以选A.
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8．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>a C．a>c>b 答案 D
解析 设a＝log36＝1＋log32＝1＋显然a>b>c.
9．已知a>0，x，y满足约束条件{x≥1，x＋y≤3，y≥a?x－3?， 若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于( ) 1A. 4答案 B
1
解析 由x≥1，2x＋y＝1有x＝1，y＝－1，代入y＝a(x－3)得a＝.
2
1B. 2
C．1
D．2
111，b＝log510＝1＋log52＝1＋，c＝log714＝1＋log72＝1＋，log23log25log27
B．b>c>a D．a>b>c
{
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A．?x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 答案 C
解析 若c＝0，则有f(0)＝0，所以A正确．由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c得f(x)－c＝x3＋ax2＋bx，因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的对称中心为(0,0)，所以f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为(0，c)，所以B正确．由三次函数的图象可知，若x0是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间(－∞，x0 )单调递减是错误的，D正确．选C.
11．设抛物线C：y2＝2px(p≥0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方
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程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x 答案 C
p?pp
，0，抛物线的准线方程为x＝－，则由抛物线的定义知，xM＝5－，设以MF为直解析 由题意知：F??2?225yM?5yM25
，，所以圆的方程为?x－?2＋?y－?2＝，又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，又因为径的圆的圆心为??22??2??2?4p
5－?，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C. 点M在C上，所以16＝2p??2?12．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( ) A．(0,1) C.?1－
B.?1－
B．y2＝2x或y2＝8x D．y2＝2x或y2＝16x
?
21?
， 22?
?
21?， 23?
11?D.??3，2?
答案 B 二、填空题
→→
13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________. 答案 2
1→→1→2→→→→→→→1→→→→解析 由题意知：AE·BD＝(AD＋DE)·(AD－AB)＝(AD＋AB)·(AD－AB)＝AD2－AD·AB－AB＝4－0－2＝
2222.
1
14．从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.
14答案 8
解析 由题意，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，∴在n个数中任意取出两个不同的数的总n?n－1?1
情况应该是C2＝＝2÷＝28，∴n＝8. n
214
π1
θ＋?＝，则sin θ＋cos θ＝________. 15．设θ为第二象限角，若tan??4?2答案 －
10
5
π11θ＋?＝，∴tan θ＝－， 解析 ∵tan??4?23
即3sin θ＝－cos θ，sin2θ＋cos2θ＝1，解得sin θ＝∴sin θ＋cos θ＝－
10
. 5
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{
10310，cos θ＝－. 1010
16．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________． 答案 －49
10
解析 由题意知a1＋a10＝0，a1＋a15＝.
310
两式相减得a15－a10＝＝5d，
32
∴d＝，a1＝－3.
3
32
n?n－1??n－10n?
∴nSn＝n·＝f(n)， ?na1＋d?＝32??
1
f′(n)＝n(3n－20)．
3
由函数的单调性知f(6)＝－48，f(7)＝－49. ∴nSn的最小值为－49. 三、解答题
17．△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值． 解 (1)由已知及正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B，① 又A＝π－(B＋C)，
故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B. π
又B∈(0，π)，所以B＝.
4
12
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.
24π
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos . 44
又a2＋c2≥2ac，故ac≤，
2－2当且仅当a＝c时，等号成立． 因此△ABC面积的最大值为2＋1.
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2013年高考新课标ii卷理科数学试题及答案
