2013年高考新课标ii卷理科数学试题及答案

DE6?sin∠DGE = EG = 3 （Ⅱ）解法二：由AC = CB = 则 2AB ?AC2 + CB2 = AB2 ?AC⊥BC，建立如图所示的坐标系，设AA1 = 2，2 CA1 = (2, 0, 2)， CD = (1, 1, 0)， CE = (0, 2, 1)， →→→→??m? C?x1 + z1 = 0A1 = 0设m = (x1, y1, z1)是平面A1DC的法向量，则?? ? x→?1 + y1 = 0?m? CD = 0 ?可取m = (?1, 1, 1) →??m? C?x2 + z2 = 0A1 = 0同理设n = (x2, y2, z2)是平面A1EC的法向量，则?? ? 2y2 + z2 = 0→???m? CE = 0 可取n = (2, 1, ?2)， cos = m?n36 = 3 ? sin = 3 |m|?|n|所以二面角D?A1C?E的正弦值为（19）（本小题满分12分） 6 3经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，频率/组距0.0300.0250.0200.0150.010X100110120130140150每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以X（单位：t，100 ≤X ≤150）表示下一个销售季度内 的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （Ⅰ）将T表示为X的函数； （Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率； （Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个需求量，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若X∈[100,110),则取X = 105，且X = 105的概率等于需求量落入[100，110)的概率，求T的数学期望. 【解】（Ⅰ）当X ∈[100,130)时，T = 500X ??300(130 ??X ) = 800X ??39000 当X ∈[130,150]时，T = 500×130 = 65000 ?800X ??39000，X ∈[100，130）所以T = ? ?65000，X ∈[130，150]（Ⅱ）与由（Ⅰ）知T ≥ 57000 ? 120≤ X ≤150 由直方图知：120≤ X ≤150的概率为10(0.030+0.025+0.015)=0.7 所以利润T不少于57000元的概率为0.7 第 6 页 共 22 页

（Ⅲ）T可能的取值有T1 = 800×105 ??39000 = 45000, T2 = 800×115 ??39000 = 53000, T3 = 800×125 ??39000 = 61000, T4 = 65000 T的分布列如下： T P 45000 0.1 53000 0.2 61000 0.3 65000 0.4 所以ET = 45000×0.1 + 53000×0.2 + 61000×0.3 + 65000×0.4 = 59400 所以T的数学期望为59400 (20)(本小题满分12分)

2y 2x平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： — + — =1(a > b > 0)的右焦点的直线x + y??3 = 0交M于A，B两 2 2ab 1点，P为AB的中点，且OP的斜率为 . 2（Ι）求M的方程

（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积最大值. 【解】（Ⅰ）设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2)，P (x 0, y 0)

222222?y 1 ? y 2b2(x 1 + x 2)b2x 0?bx1 + ay1 = ab

??222222 ? = ? 2 ? kAB = ???2

x 1 ? x 2a(y 1 + y 2)ay 0?bx2 + ay2 = ab?

x 01

OP的斜率为 ? = 2，直线x + y??3 = 0的斜率为?1 ? kAB =?1

2y 0

2b2

??1= ??a2 ? a2 = 2b2 ……①

由题意知直线x + y??3 = 0与x轴的交点F(3，0)是椭圆的右焦点，则才c = 3 ?a2 ??b2 = 3 ……②

联立解得①、②解得a2 = 6，b2 = 3

所以M的方程为：— + — = 1

63

x 2

y 2

??x + y?? 23 = 043346（Ⅱ）联立方程组?x 2y，解得A( , ? )、B(0, 3)，求得| AB | =

333— + — = 1??63

依题意可设直线CD的方程为：y = x + m

53

CD与线段AB相交? ?? < m < 3

3

x + m??y =

联立方程组?x 2y 2 消去x得：3x 2 + 4mx +2m2 ? 6 = 0 …… (*)

— + — = 1??63

设C (x 3, y 3)，D (x 4, y 4)，则| CD |2 = 2(x 3 ? x 4)2 = 2[(x 3 + x 4)2 ??4x 3x 4]= 1862四边形ACBD的面积S = | AB |? | CD | =

29 9?m 86

当n = 0时，S最大，最大值为3 . 86

所以四边形ACBD的面积最大值为3 .

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162 (9 ? m) 9

（21）（本小题满分12分）

已知函数f (x ) = ex??ln(x + m)

（Ι）设x = 0是f (x )的极值点，求m，并讨论f (x )的单调性； （Ⅱ）当m ≤2时，证明f (x ) > 0 .

【解】（Ⅰ）f '(x ) = ex?

1

x + m

x = 0是f (x )的极值点 ? f '(0) = 0 ? m = 1.

此时，f '(x ) = ex?

1

x + 1 在(?1, +∞)上是增函数，又知f '(0) = 0，

所以x∈(?1, 0)时, f '(x ) < 0；x∈(0, +∞)时, f '(x ) > 0.

所以f (x )在(?1, 0)上是减函数，在(0, +∞) 上是增函数. （Ⅱ）如图所示，当m ≤2时，x + 1≥x + m ? 1 只需证明ex≥x + 1，且ln(x + m)≤x + m ? 1

y再指出“=”不能成立即可.

设g (x ) = ex??(x +1)，g '(x ) = ex??1

y=exy=x+1y=x+m-1y=ln(x+m)xx1 = 0是g (x )的极小值点，也是最小值点，即 g (x ) ≥ g (0) = 0 ?ex≥x + 1 设h (x ) = ln(x + m)???(x + m ? 1)

oh '(x ) =

1

x + m ??1

x2 = 1??m是h (x )的极大值点，也是最大值点，即 g (x ) ≤ h (1??m) = 0 ? ln(x + m)≤x + m ? 1

?ex≥ln(x + m) ?f (x )≥0，“=”成立的条件是：x1 = x2 且x + 1 = x + m ? 1

即m =1且m =2（矛盾） 所以f (x ) > 0

（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD 于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点， 且BC?AE = DC?AF，B、E、F、C四点共圆. （Ι）证明：CA是△ABC外接圆的直径；

D（Ⅱ）若DB =BE = EA，求过B、E、F、C四点的圆

的面积与△ABC外接圆面积的比值。 【解】（Ⅰ）CD为△ABC外接圆的切线 ?∠BCD = ∠A， BCDCBC?AE = DC?AF ? = ，则△BCD ∽ △AEF ?∠CBD =∠AFE

FAEA

CFBEAB、E、F、C四点共圆 ?∠CBD =∠CFE ?∠AFE =∠CFE = 90o

?∠CBD = 90o ?∠CBA = 90o ?CA是△ABC外接圆的直径.

（Ⅱ）连结CE，由∠CBA = 90o知CE为过B、E、F、C四点的圆的直径，设BD = a，在直角三角形ACD中，BC2 = BD?BA = 2a2

BD =BE ?CE2 =DC2 = BD2 +BC2 = 3a2 AC2 =AD?AB = 6a2

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CE21

所以两圆的面积之比为 2 = . AC2

（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程

?x = 2cost

已知动点P，Q都在曲线C：? (t是参数)上，对应参数分别为t?=??与t?=2? (0

?y = 2sin t

的中点.

（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程;

（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为? 的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点. 【解】（Ⅰ）P(2cos??, 2sin??)，Q(2cos2??, 2sin2??) ?M (cos? + cos2??, 2sin??+ sin2? ?)

?x = cos? + cos2??所以M的轨迹的参数方程为：? ( ??是参数，0 < ? < 2? )

?y = 2sin??+ sin2? （Ⅱ）d =

x 2 + y 2 = 2+2cos? ( 0 < ? < 2? )

当? = ?时，d = 0，所以M的轨迹过坐标原点.

（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 设a，b，c均为正数，且a + b + c =1，证明： 1

（Ⅰ）ab + bc + ac ≤ ；

3

a2b2c2

（Ⅱ） + + ≥1

bca

【解】（Ⅰ）由a2 + b2 ≥2ab，b2 + c2 ≥2bc，a2 + c2 ≥2ac得

a2 + b2 + c2≥ab + bc + ac ? (a + b + c)2 = (a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ac) ≥3(ab + bc + ac) ? 1≥3(ab + bc + ac)

1

?ab + bc + ac ≤3 .

a2b2c2

（Ⅱ）证法一：因为 + b ≥2a， + c ≥2b， + a ≥2c

bcaa2b2c2

所以 ( + + )+(a + b + c) ≥2(a + b + c)

bca

a2b2c2

? b + c + a + 1 ≥2

a2b2c2

? b + c + a ≥1

a2b2c2

证法二：由柯西不等式得：( + + )( b + c + a)≥ (a + b + c)2

bcaa2b2c2

? b + c + a ≥1

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2013新课标Ⅱ卷(理)

一、选择题

1．已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于( ) A．{0,1,2}

B．{－1,0,1,2} D．{0,1,2,3}

C．{－1,0,2,3} 答案 A

解析 化简集合M得M＝{x|－1

2i?1＋i?2i

解析 由已知得z＝＝＝－1＋i.

1－i?1－i??1＋i?

3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于( ) 1111A. B．－ C. D．－ 3399答案 C

解析 设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q41＝9，所以a1＝.

9

4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( ) A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

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B．－1－i D．1－i