2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一.选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M = {x | (x ?1)2 < 4, x∈R}，N =｛?1, 0, 1, 2, 3｝，则M ∩ N =
（A）{0, 1, 2｝ （B）{?1, 0, 1, 2} （C）{?1, 0, 2, 3} （D）{0, 1, 2, 3} 答案：A
【解】将N中的元素代入不等式：(x ?1)2 < 4进行检验即可. （2）设复数z满足(1?i )z = 2 i ，则z =
（A）?1+ i （B）?1? i （C）1+ i （D）1? i 答案：A
2i
【解法一】将原式化为z = ,再分母实数化即可. 【解法二】将各选项一一检验即可.
1? i（3）等比数列{an}的的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1 =
1（A）
3
答案：C
a51 = q49
1
错误!未找到引用源。（B）?
3
1（C）
9
1
（D）?
9
【解】由S3 = a2 +10a1 ? a3 = 9a1 ? q2 = 9 ? a1 =
（4）已知m, n为异面直线，m⊥平面?，n⊥平面??. 直线l满足l⊥m，l⊥n，l? /?，l? /????则：
（A）?∥?且l∥? （B）?⊥?且l⊥? （C）?与??相交，且交线垂直于l （D）?与??相交，且交线平行于l 答案：D
【解】显然?与??相交，不然?∥? 时? m∥n与m, n为异面矛盾.???与??相交时，易知交线平行于l.
（5）已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则a = 开始 （A）??4 （B）??3
输入N （C）??2 （D）??1 答案：D k =1, S = 0,T =1 【解】x2的系数为5 ?C5+aC5 = 5 ?a = ??1
21
（6）执行右面的程序框图，如果输入的N =10，那么输出的S =
111
（A）1+ + + … + 错误!未找到引用源。
2310111
（B）1+ + + … +
2!3!10!
111
（C）1+ + + … + 错误!未找到引用源。
2311111
（D）1+ + + … +
2!3!11!答案：B
【解】变量T, S, k的赋值关系分别是： Tn+1 =
TT= kS = S+T k= k +1 k > N 是 输出S 结束 否 Tn
, Sn+1 = Sn+ Tn+1, kn+1 = kn + 1.( k0 =1, T0 = 1, S0 = 0) kn
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Tn
? kn = n + 1, Tn= T
×
n ?1
Tn ?1T11111
× …××T0= ××…× = , Tn ?2T0kn ?1kn ?2k0n!
Sn= (Sn ? Sn?1) + (Sn?1? Sn?2) + … + (S1? S0) + S0 = Tn+ Tn?1 + … + T0= 1+
111
+ + … + 2!3!n!
满足kn > N的最小值为k10 = 11，此时输出的S为S10
（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O?xyz中的坐标分别是(1, 0, 1)，(1, 1, 0），(0, 1, 1），(0, 0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为
(A)
答案：A 【解】
(B) (C) (D)
（8）设a = log 36，b = log 510，c = log 714，则
（A）c > b > a （B）b > c > a （C）a > c > b 答案：D
【解】a = 1 + log 32，b = 1 + log 52，c = 1 + log 72
log 23 < log 25 < log 27 ? log 32 > log 52 > log 72 ? a > b > c
（D）a > b > c
??x≥1
（9）已知a > 0，x, y满足约束条件?x + y≤3 , 若z =2x + y的最小值为1，则a =
?y≥a(x ??3)?
1
（A）
4
1
错误!未找到引用源。（B）
2
y1oA(1, 2)B(3, 0)xlC（C）1 （D）? 答案：B
【解】如图所示，当z =1时，直线2x + y = 1与x = 1的交点C (1, ?1) 1
即为最优解，此时a = kBC =
2
（10）已知函数f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c，下列结论中错误的是
（A）?x0∈R, f (x0)= 0
（B）函数y = f (x )的图像是中心对称图形
（C）若x0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(-∞, x0)单调递减 （D）若x0是f (x )的极值点，则f '(x0 ) = 0
答案：C
【解】f (x ) 的值域为(?∞, +∞), 所以（A）正确；
aaaaa
f (x ) = [x 3 + 3x 2? + 3x?( )2 + ( )3 ]+ bx ? 3x?( )2 + c??( )3
33333
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a3 a2aab2a3
= (x?+ )+ (b ? )(x + ?) + c?? ?? 333327
因为g (x ) = x 3 + (b ?
a2
)x是奇函数，图像关于原点对称， 3
aab2a3
所以f (x ) 的图像关于点(?? , c?? ?? )对称.
3327
所以（B）正确；
显然（C）不正确；（D）正确.
（11）设抛物线C：y2 =2px ( p > 0)的焦点为F，点M在C上，| MF |=5，若以MF为直径的圆过点(0, 2)，则C的方程为 （A）y2 = 4x或y2 = 8x （C）y2 = 4x或y2 = 16x 答案：C
（B）y2 = 2x或y2 = 8x （D）y2 = 2x或y2 = 16x
yKoFNMxpp
【解】设M(x0, y0)，由| MF |=5 ? x0 + = 5 ? x0 = 5 ?
22
x0py0x0p1
圆心N( + , )到y轴的距离| NK | = + = | MF |，则
242242
圆N与y轴相切，切点即为K(0, 2)，且NK与y轴垂直? y0 = 4 p
?2p(5 ? 2 ) = 16 ? p = 2或8 .
（12）已知点A(?1, 0)，B(1, 0)，C(0, 1)，直线y = ax +b (a > 0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是：
（A）(0, 1)
11(D) [ , )
32
1
（B）(1???错误!未找到引用源。, )
2
（C）(1???错误!未找到引用源。,
1 ] 3
答案：B
【解】情形1：直线y = ax +b与AC、BC相交时，如图所示，设MC = m, NC = n, 1
由条件知S△MNC = ? mn = 1
2显然0 < n≤2 ? m =
1
≥ 错误!未找到引用源。又知0 < m≤n
yC2 , m ≠n
所以错误!未找到引用源。≤ m ≤ 2 且m ≠1
mttnMADNxBttDNDM
D到AC、BC的距离为t, 则 + = + = 1
mnMNMNmn11
? t = m+n ?t = m + m
o1321
f (m ) = m + (错误!未找到引用源。≤ m ≤ 2 且m ≠1)的值域为(2, 错误!未找到引用源。] ? 2 < ≤
m2t
3221
? ≤ t < 232
因为b =1? CD =1? 2t ，所以1???错误!未找到引用源。< b ≤
1 3
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yCNAMoxB
情形2：直线y = ax +b与AB、BC相交时，如图所示， ba+bba+b
易求得xM = ? , yN = ,由条件知(1+ ) = 1
aa+1aa+1b2
? = a
1?2b
b
M在线段OA上?0< <1 ?0 < a < b
aN在线段BC上?0<
a+b
<1 ?b < 1 a+1
b211
解不等式：0 < < b得 < b <
321?2b1
综上：1???错误!未找到引用源。< b <
2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 AE ? BD = . 答案：2
【解】建立如图所示的坐标系，则 AE = (1, 2)， BD = (?2, 2)，则
→→
yDEC→→
AE ? BD = 2
1
错误!未找到引14
→→
AxB（14）从n个正整数1, 2, …, n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为 用源。，则n = . 答案：8
【解】事件A：取出的两数之和等于5， ① n = 3 时, n(A) =1由P(A) = ② n > 3时, n(A) = 2由P(A) =
12
?n(?) = 14 ? Cn= 14 ?n(n ??1) =28(无解) 14
12
?n(?) = 28 ? Cn= 28 ?n(n ??1) = 56 ?n = 8 14
1?（15）设??为第二象限角，若tan(? + ) = ，则sin? + cos??= . 42答案：?
10
5
1???【解法一】由??为第二象限角及tan(? + ) = > 0?? + 为第三象限角，在? + 的终边上取一点P(?2, ?1)，
4244510??易得sin(? + ) = ? ? sin? + cos??= 2sin(? + ) = ?
4545
（16）等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10 = 0，S15 = 25，则nSn 的最小值为 . 答案：? 49
2
【解法一】由S10 = 0，S15 = 25 ? a1 = ?3，公差d = ，
31
? Sn = 3n(n ?10)
?
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将Sn是关于n的函数，其图像关于n = 5对称，n < 10时，Sn < 0，n > 10时，Sn > 0，
所以nSn的最小值应在n = 5, 6, 7, 8, 9中产生，代入计算得n = 7时nSn最小，最小值为??49. 1
【解法二】同解法一得：Sn = n(n ?10)
3
?
1
设f (n ) = nSn = (n3?10n)
3
?
f '(n ) = n(n ??
??
2020
)，靠近极小值点n = 的整数为6和7，代入f (n )计算得n = 7时f (n )最小，最小值为??49. 33
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a = bcosC + csinB. （Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b =2，求△ABC面积的最大值. 【解】（Ⅰ）由a = bcosC + csinB ? sin A = sinBcosC + sinCsinB ? sin (B+C) = sinBcosC + sinCsinB
? cosBsinC = sinCsinB ?
? ? cosB = sinB
sinC≠0 ?? tanB = 1 ??
? ? B =
4 0 < B < ? ?
（Ⅱ）由余弦定理得：a2 +c2 ??2ac = 4 ? 4+2ac = a2 +c2 ≥ 2ac ? ac ≤ = △ABC面积S =
2
ac ≤1 + 2 . 4
4
= 2(2 + 2 ) 2?2
所以△ABC面积的最大值为1 + 2 .
（18）如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1 2= AC = CB = AB. 2（Ⅰ）证明：BC1 //平面A1CD （Ⅱ）求二面角D?A1C?E的正弦值 【解】（Ⅰ）设AC1∩A1C = F ? F是AC1的中点 ?? ? BC1 //DF，DF?平面A1CD，BC1? /平面A1CD D是AB的中点 ? A1B1FEGADBC1 C? BC1 //平面A1CD. （Ⅱ）解法一：由AA1 = AC = CB = 2AB ? AA1∶BD = AD∶BE 2 ?Rt△A1AD∽Rt△BDE ? ∠A1DA = ∠BED ?∠A1DA +∠BDE = 90o ?ED⊥A1D AC = CB ? AB⊥CD ?? ? CD⊥平面ABB1A1 ? CD⊥DE AA1⊥底面ABC ?AA1⊥CD ??ED⊥平面A1CD 作DG⊥A1C交A1C于G, 则EG⊥A1C，所以∠DGE为所求二面角的平面角. CD⊥平面ABB1A1 ? CD⊥A1D ?A1C?DG = CD?A1D 设AA1 = 2a ?A1C = 22a，CD = 2a，A1D = 6a， A1B1zC1CD?A1D632?DG = AC = 2 a，DE = 3a ?EG = 2 a 1 E第 5 页 共 22 页 xADyBC
2013年高考新课标ii卷理科数学试题及答案
