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因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
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(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知a，b，c是?ABC的三边，且a2?b2?c2?ab?bc?ca，
则?ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形
解：a2?b2?c2?ab?bc?ca?2a2?2b2?2c2?2ab?2bc?2ca
?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0?a?b?c
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am?an?bm?bn
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有
a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=(am?an)?(bm?bn)
=a(m?n)?b(m?n) 每组之间还有公因式！ =(m?n)(a?b) 例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx
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解法一：第一、二项为一组； 解：原式=(2ax?10ay)?(5by?bx) =2a(x?5y)?b(x?5y) =(x?5y)(2a?b)
解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。第二、三项为一组。 原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by) =x(2a?b)?5y(2a?b) =(2a?b)(x?5y)
练习：分解因式1、a2?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1
（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：x2?y2?ax?ay
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式=(x2?y2)?(ax?ay) =(x?y)(x?y)?a(x?y) =(x?y)(x?y?a)
例4、分解因式：a2?2ab?b2?c2 解：原式=(a2?2ab?b2)?c2 =(a?b)2?c2 =(a?b?c)(a?b?c)
练习：分解因式3、x2?x?9y2?3y 4、x2?y2?z2?2yz
x3?x2y?xy2?y3 ax2?bx2?bx?ax?a?b 综合练习：（1）（2）
因式分解的通用方法(目前最牛完整的课程教案)(4)
