考研微积分学习指导-无穷级数

1．14 无穷级数

一、知识要点

（一）常数项无穷级数

1.设给定数列?un?：u1,u2,u3,?un,?

则 u1?u2?u3???un??

称为(常数项)无穷级数，简称级数，记为

?un?1?n，

即

?un?1?n?u1?u2?u3??un?

其中第n项un称为级数（7.1）的通项或一般项； 2.级数的前n项的和

Sn?u1?u2?u3???un

称为级数的部分和；由部分和构成一个新的数列?Sn?：

S1?u1，S2?u1?u2，S3?u1?u2?u3,?，Sn?u1?u2?u3???un,?

称为级数

?un?1?n的部分和数列.

?3. 对于给定的级数

?un?1n，如果其部分和数列?Sn?有极限S，即limSn?S，则称级数

n?????un?1?n收敛，这时极限S称为级数

??un?1n的和，记为

?un?1n?S；如果其部分和数列?Sn?没

有极限，则称级数

?un?1n发散.

(二)常数项级数的基本性质

性质1 若级数

?un?1?n与?vn?1?n分别收敛于S和W，则级数

?(un?1?n?vn)?(u1?v1)?(u2?v2)??(un?vn)?

也收敛，且其和为S?W. 性质2 设k为非零常数，若级数

?un?1?n收敛于S，则级数

?kun?1?n也收敛，且其和为kS.

性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不改变级数的敛散性.

性质4 如果一个级数收敛，则任意加括号后所成的级数也收敛，且收敛于原级数的和. 性质5 （级数收敛的必要条件）如果级数

?un?1?n收敛，则其一般项收敛于零，即limun?0.

n??（1）如果级数

?un?1?n的通项un不趋于零（n??时），则此级数必发散.

（2） 通项趋于零的级数，不一定收敛.

(三)常数项级数敛散性判别法

1.正项级数敛散性判别 (1)正项级数

??un?1n收敛的充分必要条件是，它的部分和数列?Sn?有上界.

??2.（比较判别法）设级数

?un?1n和

?vn?1n都是正项级数，且

(n?1,2,3, un?vn　　　　（1）若级数

)

?vn?1??n收敛时，则级数

?un?1??n也收敛；

（2）若级数

?un?1nn发散时，则级数

??vn?1n也发散.

3.推论 设

?un?1n?和

?vn?1n均为正项级数，

（1）若

?vn?1?收敛，且存在正整数N，使得当n?N时有un?kvn(k?0)成立，则级数