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1.1正弦定理和余弦定理
一、填空题
1．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是________． 解析 由题意和正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc，b2＋c2－a2≥bc，
b2＋c2－a21πcosA＝≥，所以0＜A≤.
2bc23π??
答案 ?0，?
3??
2．若△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．
解析 由(a＋b)2－c2＝4及余弦定理，
4
得c2＝a2＋b2－2abcos60°＝(a＋b)2－3ab，所以ab＝.
3答案
4 3
2π
，则a＝________. 3
3．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝解析 由正弦定理，有
31＝， 2πsin Bsin
3
信达
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1
即sinB＝.又C为钝角，
2所以B必为锐角，所以B＝答案 1
4.在△ABC中,已知a?52?c?10?A?30o,则B等于________.
10?12?2. 解析根据正弦定理a?c?得sinC?csinA?sinAsinCa252ππ
，所以A＝.故a＝b＝1. 66
∴C=45o或C=135o.当C=45o时,B=105o;当C=135o时,B=15o. 答案105o或15o
5．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC＝________.
解析 设AB＝a，∴BD＝
2
a， 3
BC＝2BD＝
4
a， 3
422
2a－a3AB2＋AD2－BD21
cosA＝＝＝ 2AB·AD2a23∴sinA＝1－cos2A＝由正弦定理知sinC＝答案
6 6
22
3
AB3226·sinA＝×＝. BC436
1
6．在△ABC中，若S△ABC＝(a2＋b2－c2)，那么角C＝________.
4
11
解析根据三角形面积公式得，S＝absinC＝(a2＋b2－c2)，
24
信达
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a＋b－ca2＋b2－c2
∴sinC＝.又由余弦定理：cosC＝，
2ab2ab∴sinC＝cosC，∴C＝π
答案
4
7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝bc＋a2，则角A的大小为________．
π. 4
222
b2＋c2－a21π
解析 由余弦定理，得cosA＝＝，所以A＝.
2bc23答案
π
3
π
8．已知△ABC中，AB＝2，C＝，则△ABC的周长为________(用含角A的三角
3函数表示)．
2sin A2sin B解析 由正弦定理，得△ABC的周长为a＋b＋c＝＋＋2
ππsinsin
33＝
π?44?2π??
－A?＋2＝23sinA＋2cosA＋2＝4sin?A＋?＋2. sinA＋sin?
6??3??33
π??
答案 4sin?A＋?＋2
6??
9．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则 △ABC的面积为________．
解析 不妨设A＝120°，c＜b，则a＝b＋4，c＝b－4，
b2＋b－42－b＋4
于是由cos120°＝
2bb－41
解得b＝10，S＝bcsin120°＝153.
2答案 153
2
1＝－，
2
10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A角大小为________．
解析 由a2－b2＝3bc，c＝23b，得a2＝7b2，
信达
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b2＋c2－a2b2＋12b2－7b23π
所以cosA＝＝＝，所以A＝. 2
2bc2643b答案
π 6
11.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则AC的值等于 ,AC的取值范围
cosA为 .
解析设A???B?2?.
由正弦定理得AC?BC?∴AC?1?AC?2.
sin2?sin?2cos?cos?由锐角△ABC得0o?2??90o?0o???45o, 又0o<180o?3??90o?30o???60o,
故30o???45o?2?cos??3?AC=2cos??∴AC?(2?3).
22答案2(2?3)
12．△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B3
＝30°，△ABC的面积为，那么b＝________.
2解析 由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c. 平方得a2＋c2＝4b2－2ac. 3
又△ABC的面积为，且B＝30°，
2
1113
故由S△ABC＝acsinB＝acsin30°＝ac＝，
2242得ac＝6，所以a2＋c2＝4b2－12.由余弦定理
a2＋c2－b24b2－12－b2b2－43
cosB＝＝＝＝.
2ac2×642解得b2＝4＋23.
又因为b为边长，故b＝1＋3. 答案 1＋3
13．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＋＝6cosC，则
baabtan Ctan A信达
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tan C＋的值是________． tan B解析 利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为＋＝6cosC，
baaba2＋b2a2＋b2－c23
由余弦定理得＝6·，即a2＋b2＝c2.
ab2ab2
tan Ctan Csin C?cos Acos B?sin Csin C＋??而＋＝＝· tan Atan Bcos C?sin Asin B?cos Csin Asin B2c22c2
＝＝＝＝4.
a2＋b2－c2a2＋b2－c2322
ab·c－c2ab2答案 4 二、解答题
14．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)(b＋c－
a)＝3bc. (1)求A；
(2)若B－C＝90°，c＝4，求b.(结果用根式表示)
解析(1)由条件，得(b＋c)2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，
b2＋c2－a21
∴cosA＝＝. 2bc2
∵0° ?B－C＝90° c2 得B＝105°，C＝15°. b44sin105° 由正弦定理得＝，即b＝， sin105°sin15°sin15° ∴b＝4tan75°， 1＋tan30° ∵tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝2＋3， 1－tan30° ∴b＝8＋43. 15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝3a. (1)求cosA的值； π?? (2)cos?2A＋?的值． 4?? 3 解析 (1)由B＝C,2b＝3a，可得c＝b＝a， 2 信达
人教A版高中数学必修五1.1 正弦定理和余弦定理
