2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（4）
文科数学
本试题卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知命题p:?1?x?2，q:log2x?1，则p是q成立的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分有不必要 D．充要
【答案】B
【解析】q:log2x?1?0?x?2，因为?0,2????1,2?，所以p是q成立的必要不充分条件，选B．
2．已知复数z1?1?ai，z2?3?2i，a?R，i是虚数单位，若z1?z2是实数，则a?（ ）
A．?23
B．?13
C．13
D．
23 【答案】A
【解析】复数z1?1?ai，z2?3?2i，
z1?z2??1?ai??3?2i??3?2i?3ai?2a??3?2a???2?3a?i．
若z2?3a?0，解得a??21?z2是实数，则3．故选A．
3．下列函数中既是偶函数又在?0,???上单调递增的函数是（ ） A．f?x??2x?2?x B．f?x??x2?1 C．f?x??log1x D．f?x??xsinx
2【答案】B
【解析】A是奇函数，故不满足条件；B是偶函数，且在?0,???上单调递增，故满足条件；C是偶函数，在?0,???上单调递减，不满足条件；D是偶函数但是在?0,???上不单调．故答案为B．
4．已知变量x，y之间满足线性相关关系y??1.3x?1，且x，y之间的相关数据如下表..
.
所示：
x 1 2 3 4 y 0.1 m 3.1 4 则m?（ ）
A．0.8 B．1.8 C．0.6 D．1.6
【答案】B
【解析】由题意，x?2.5，代入线性回归方程为y??1.3x?1，可得y?2.25， ?0.1?m?3.1?4?4?2.25，?m?1.8，故选B．
?x?y5．若变量x，y满足约束条件?≥0?x?y≥0，则3x?2y的最大值是（ ）
??3x?y?4≤0A．0 B．2 C．5 D．6
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点A?1,1?处取得最大值，
zmax?3x?2y?3?1?2?1?5．本题选C．
6．已知等差数列?aa1?a14n?的公差和首项都不为0，且a1、a2、a4成等比数列，则a?3（ ） A．2 B．3
C．5
D．7
【答案】C
【解析】由a、a221、a24成等比数列得a2?a1a4，??a1?d??a1?a1?3d?，?d2?a1d，Qd?0，?d?aa1?a1?13d15a11，a1?a14a??2d?3a?5，选C． 3a117．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ） A．58
B．59
C．60
D．61
【答案】C
【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60． 故选C．
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A．2?42?23 B．2?22?43 C．2?63 D．8?42
【答案】A
【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥P?ABC，其中三棱锥的高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为
2，表面积为
S?S△ABC?S△PBC?S△PAC?S△PAB?2?22?22?23?2?42?23，故选A．
9．若函数f?x??3sin?2x????cos?2x???(0???π)的图象经过点??π??2,0??，则（ ）
A．f?x?在??π?0,?2??上单调递减
B．f?x?在??π?4,3π?4??上单调递减
C．f?x?在??π??0,2??上单调递增
D．f?x?在??π3π??4,4??上单调递增
【答案】D
【解析】由题意得f?x??3sin?2x????cos?2x????2sin??π??2x???6??，
∵函数f?x?的图象经过点??π?f??π??2???2sin???2?ππ??π??2,0??，∴2???6????2sin????6???0，
又0???π，∴??5π6，∴f?x???2sin2x．
..
.
对于选项A，C，当x????0,π?2??时，2x??0,π?，故函数不单调，A，C不正确；
对于选项B，D，当x???π3π??π3π??4,4??时，2x???2,2??，函数f?x?单调递增，故D正确．
选D．
10．已知A，B是函数y?2x的图象上的相异两点，若点A，B到直线y?1
2
的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（ ） A．???,?1? B．???,?2?
C．??1,???
D．??2,???
【答案】B
【解析】设A?a,2a?，B?b,2b?，则2a?12?2b?12，因为a?b，所以2a?2b?1，由基本不等式有2a?2b?2?2a?b，故2?2a?b?1，所以a?b??2，选B．
11．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，2，a，且长为a的棱与长为2的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A．
212 B．
3212 C．
6 D．
36 【答案】A
【解析】如图所示，三棱锥A?BCD中，AD?a，BC?2，AB?AC?BD?CD?1，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD看作底面，则当平面
ABC?平面BCD时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高h?22，△BCD是等腰直角三角形，则S?1△BCD2，综上可得，三棱锥的体积的最大值为13?12?22?212．本题选择A选项．
x2y212．已知双曲线a2?b2?1(a?0,b?0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，A，B为其
左右顶点，以线段F1，F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且
?MAB?30?，则双曲线的离心率为（ ）
A．21
B．2123
C．193
D．192
【答案】B
x2y2【解析】双曲线ba2?b2?1的渐近线方程为y??ax，以F1，F2为直径的圆的方程为
x2?y2?c2，将直线y?bacax代入圆的方程，可得：x?a2?b2?a（负的舍去），y?b，
即有M?a，b?，又A??a，0?，Q?MAB?30?，则直线AM的斜率k?33，又k?b2a，则3b2?4a2?3?c2?a2?，即有3c2?7a2，则离心率e?c21a?3，故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2ccosB?2a?b，则?C?_________． 【答案】120?
【解析】∵2ccosB?2a?b，∴2c?a2?c2?b2?2a?b，即a2?b2?c22ac??ab， 222∴cosC?a?b?c2ab??12，∴C?120?．
14．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．
【答案】
138 【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知：当x?1，y?1时，
z?x?y?2?20，x?1，y?2，运算程序依次继续：z?x?y?3?20，x?2，y?3；z?x?y?5?20，x?3，y?5；z?x?y?8?20，x?5，y?8；z?x?y?13?20，
..
.
x?8，y?13；z?x?y?21?20，
yx?138运算程序结束，输出138，应填答案13． 15．在△ABC中，CA?2CB?2，uCAuuv?uCBuuv??1，O是△ABC的外心，若uCOuuv?xCAuuuv8?yCBuuuv，
则x?y?______________． 【答案】
136 【解析】由题意可得：?CAB?120?，CA?2，CB?1，则：
uCOuuv?uCAuuv??xCAuuuv?yCBuuuv??uCAuuv?xCAuuuv2?yCBuuuv?uCAuuv?4x?y，
uCOuuv?uCBuuv??xCAuuuv?yCBuuuv??uCBuuv?xCAuuuv?uCBuuv?yCBuuuv2??x?y，
如图所示，作OE?BC?E，OD?AC?D，
则uCOuuv?uCAuuv?1u2CAuuv2?2，uCOuuv?uCBuuv?1uuuv212CB?2，
?4x?y?2?x?5综上有：??，求解方程组可得：??6，故x?y?13． ???x?y?1?2?46??y?316．已知函数f?x?满足f?x??f?2x?，且当x??1,2?时f?x??lnx．若在区间?1,4?内，函数g?x??f?x??2ax有两个不同零点，则a的范围为__________．
【答案】??ln2??0,8?? 【解析】Qf?x??f?2x?，?f?x??f??x?x?2??，当x??2,4?时，2??1,2?；
f?x??f??x?x??lnx,x?2??2???ln2?lnx?ln2，故函数f?x????1，??lnx?ln2,x??2，4?，
作函数f?x?与y?2ax的图象如下，
过点?4,ln2?时，2a?ln2ln21lnx?4，?a?8，y?lnx?ln2，y??ln21x；故x?x，故x?2e>4，故实数a的取值范围是??ln2??0,8??．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知在△ABC中，2B?A?C，且c?2a． （1）求角A，B，C的大小；
（2）设数列?an?满足an?2ncosnC，前n项和为Sn，若Sn?20，求n的值．
【答案】（1）A?π6，B?π3，C?π2；（2）n?4或n?5． 【解析】（1）由已知2B?A?C，又A?B?C?π，所以B?π3．又由c?2a，
所以b2?a2?4a2?2a?acosπ3?3a2，所以c2?a2?b2，
所以△ABC为直角三角形，C?ππππ2，A?2?3?6．
（2）aπ??0,n为奇数n?2ncosnC?2ncosn2????2n,n为偶数． 所以S?S?22?0?24?????0?22k?22k?22k?2?4n2k?1?S2k?0?41?1?4?3，k?N*，
?2由S22k?4n?3?20，得22k?2?64，所以2k?2?6，所以k?2，所以n?4或n?5．
18．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：
（1）求m的值及这50名同学数学成绩的平均数x；
（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在?130,140?的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知成绩在?130,140?的同学中男女比例为2：1，求至少有一名女生参加
..
.
座谈的概率．
【答案】（1）m?0.008，x?121.8；（2）P?A??45． 【解析】（1）由题?0.004?0.012?0.024?0.04?0.012?m??10?1，解得m?0.008，
x?95?0.004?10?105?0.012?10?115?0.024?10?125?0.04?10? 135?0.012?10?145?0.008?10?121.8．
（2）由频率分布直方图可知，成绩在?130,140?的同学有0.012?10?50?6（人）， 由比例可知男生4人，女生2人，记男生分别为A、B、C、D；女生分别为x、y， 则从6名同学中选出3人的所有可能如下：ABC、ABD、ABx、ABy、ACD、ACx、ACy、ADx、ADy、BCD、BCx、BCy、BDx、BDy、CDx、CDy、Axy、Bxy、Cxy、Dxy——共20种，其中不含女生的有4种ABC、ABD、ACD、BCD； 设：至少有一名女生参加座谈为事件A，则P?A??1?420?45． 19．如图，四棱锥V?ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，E为AB的中点．
（1）在侧棱VC上找一点F，使BF∥平面VDE，并证明你
的结论；
（2）在（1）的条件下求三棱锥E?BDF的体积．
【答案】（1）见解析；（2）V3E?BDF?6． 【解析】（1）F为VC的中点． 取CD的中点为H，连BH、HF，
QABCD为正方形，E为AB的中点，?BE平行且等于DH，?BH//DE， 又QFH//VD，?平面BHF//平面VDE，?BF//平面VDE． （2）QF为VC的中点，S△BDE?14S?V1正方形ABCD，?VE?BDFF?BDE?8VV?ABCD， QV?ABCD为正四棱锥，?V在平面ABCD的射影为AC的中点O，
QVA?5，AO?2，?VO?3，?V1433V?ABCD?3?22?3?3，?VE?BDF?6．
x2y220．已知椭圆C61：a2?b2?1 (a?b?0)的离心率为3，焦距为42，抛物线C2：
x2?2py(p?0)的焦点F是椭圆C1的顶点．
（1）求C1与C2的标准方程；
（2）C的两点P，Q满足uFPuuv?uFQuuv1上不同于F?0，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的
面积．
x2y2【答案】（1）12?4?1，x2?8y；（2）1835．
【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c，依题意有2c?42，
c1a?63， 解得a?23，b?2，故椭圆Cx2y21的标准方程为12?4?1． 又抛物线C2：x2?2py(p?0)开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，?F?0,2?，?p?4，故抛物线C2的标准方程为x2?8y．
（2）显然，直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y?kx?m，设P?x1,y1?，Q?x2,y2?，
则uFPuuv??xuuuv1,y1?2?，FQ??x2,y2?2?，
?uFPuuv?uFQuuv?x1x2?y1y2?2?y1?y2??4?0，
即?1?k2?x1x2??km?2k??x1?x2??m2?4m?4?0?*?，
?y?kx?m联立???x2?y2?1，消去y整理得，?3k2?1?x2?6kmx?3m2?12?0?**?．
?124依题意x1，x2，是方程?**?的两根，??144k2?12m2?48?0，
?x?6km1?x2?3k2?1，x3m2?121?x2?3k2?1， 将x1?x2和x1?x2代入?*?得m2?m?2?0， 解得m??1，（m?2不合题意，应舍去）
联立??y?kx?12?8y，消去y整理得，x2?8kx?8?0，
?x令???64k2?32?0，解得k2?12．经检验，k2?12，m??1符合要求． 此时，x1?x2??x1?x2?2?4x72?18?1231x2?25?4???5???5， ..
.
?S1183△FPQ?2?3?x1?x2?5．
21．设函数f?x??21?x2?x?R?． （1）求证：f?x?≥?x2?x?1；
（2）当x???1,0?时，函数f?x?≥ax?2恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）a≥1．
【解析】（1）原不等式等价于x4?x3?x?1≥0，设g?x??x4?x3?x?1， 所以g??x??4x3?3x2?1??x?1??4x2?x?1?， 当x????,1?时，g??x??0，g?x?单调递减； 当x??1,???时，g??x??0，g?x?单调递增．
又因为g?x?min?g?1??0，所以g?x?≥0．所以f?x?≥?x2?x?1． （2）当x???1,0?时，f?x?≥ax?2恒成立，即a≥?2x1?x2恒成立． 当x?0时，
?2x1?x2?0； 当x???1,0?时，而?2x1?x2?21≤21?1，所以a≥1． ?x???x?2?x???x?（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则
按所做第一题计分）
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l??x?t?31的参数方程为??（t为参数），直线l?y?kt2的
?x?3?参数程为?m?（m为参数），设直线l?1与l2的交点为P，当k变化时点?y?mP的轨迹3k为曲线C1．
（1）求出曲线C1的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为
?sin????π???4??42，点Q为曲线C1的动点，求点Q到直线C2的距离的最小值．
（1）Cx2【答案】1的普通方程为3?y2?1?y?0?；（2）d的最小值为32．
【解析】（1）将l1，l2的参数方程转化为普通方程；
l1:y?k?x?3?，①
l2:y?13k?3?x?，②
×②消k可得：x2①3?y2?1，
因为k?0，所以y?0，所以C的普通方程为x213?y2?1?y?0?．
（2）直线C2的直角坐标方程为：x?y?8?0． 由（1）知曲线C1与直线C2无公共点，
由于C的参数方程为???x?3cosa1?a（a为参数，a?kπ，k?Z），
?y?sin所以曲线C1上的点Q?3cosa,sina?到直线x?y?8?0的距离为：
3cosa?sina?82sin??a?π???8d?2??3?2， 所以当sin??π??a?3???1时，d的最小值为32．
23．已知函数f?x??13x?a?a?R?． （1）当a?2时，解不等式x?13?f?x?≥1； （2）设不等式x?13?f?x?≤x的解集为M，若??1?3,1?2???M，求实数a的取值范围．【答案】（1）{x|x≤0或x≥1}；（2）??14???2,3??．
【解析】（1）当a?2时，原不等式可化为3x?1?x?2≥3，
①当x≤13时，原不等式可化为?3x?1?2?x≥3，解得x≤0，所以x≤0；
②当13?x?2时，原不等式可化为3x?1?2?x≥3，解得x≥1，所以1≤x?2．
③当x≥2时，原不等式可化为3x?1?2?x≥3，解得x≥1，所以x≥2，
..
.
综上所述，当a?2时，不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}． （2）不等式x?13?f?x?≤x可化为3x?1?x?a≤3x， 依题意不等式3x?1?x?a≤3x在??11??3,2??恒成立，
?a?1≤1所以3x?1?x?a≤3x，即x?a≤1，即a?1≤x≤a?1，所以???3， ?1??a?1≥2解得?14?14?2≤a≤3，故所求实数a的取值范围是???2,3??．
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(4)（文科数学含答案详解）
