Daubechies小波有限元求解GPR波动方程

Daubechies小波有限元求解GPR波动方程

冯德山1,2, 杨炳坤1,3, 王珣1,2, 杜华坤1,2

【摘 要】摘要 基于可分离小波理论，由一维Daubechies尺度函数的张量积构造二维Daubechies小波基，并将它作为GPR波动方程求解的插值函数，导出了二维Daubechies小波有限元GPR方程离散格式；通过引入转换矩阵，实现小波系数空间与雷达场值之间转换.引入自由度凝聚技术，有效解决了小波有限元求解中小波单元内部自由度过多的问题，节约了计算量并方便与传统有限元法耦合.然后，详细阐述了Daubechies小波有限元联系系数计算方法，有效解决了小波有限元求解偏微分方程的难点与核心问题.最后，以两个典型GPR模型为例，对比了Daubechies小波有限元与传统有限元的雷达正演剖面图与单道波形图，结果表明：在相同的剖分方式及节点数目条件下，Daubechies小波有限元的紧支性与正交性一定程度上提高了求解效率，它与有限元法求解结果能较好地吻合，验证了Daubechies小波有限元算法的正确性. 【期刊名称】地球物理学报 【年(卷),期】2016(059)001 【总页数】13

【关键词】关键词 探地雷达； Daubechies小波有限元； 自由度凝聚技术； 联系系数； 波动方程； 正演模拟

1 引言

GPR正演传统算法主要有：有限差分法(刘四新和曾昭发，2007；李静等，2010；冯德山等，2010)、有限元法(底青云和王妙月，2010；冯德山等，2012)，它们理论体系日趋成熟完善，但都是选用多项式作为基函数，是全局

化的函数，当开展简单的模型计算时具有优势.然而，随着GPR工程勘探日益复杂化、精细化，如仍以低阶多项式的基函数去逼近场函数，难以完全消除局部大梯度问题所引起的振荡，影响求解精度.以有限单元法(FEM)为例，它在求解断层断点、地质裂隙等局部大梯度、奇异性问题时，计算误差取决于对模型的一次性剖分，当计算结果存在较大误差时，需要加密网格或提高插值多项式的阶次，原来形成的刚度矩阵不能够在网格细化后的计算中被继承，势必增加大量计算成本，浪费计算资源，所以寻找更优的插值函数也成为当前有限元发展的新研究方向之一.

小波分析是调和分析发展史上里程碑式的进展(程正兴，2006)，它比传统Fourier分析能更好地处理局部奇异性问题，具有多分辨特性(Qian and Weiss，1993；Ko et al，1995).近年来，小波分析与有限元方法相结合，产生了小波有限元，它作为一种偏微分方程(PDE)的潜在高效求解方法被提出，能将分析对象依次放入一个逐级扩大、互相嵌套的函数空间序列…，V-1,V0,V1…中进行分析，而且作为空间Vj+1的子空间Vj，存在相应的补空间Wj，当需要提高求解精度时，通过增加Wj空间以扩大单元容许空间至Vj+1.因此，小波有限元能根据实际需要任意改变分析尺度，在不改变网格剖分的前提下提高分辨率，使其可以在大梯度处采用小的分析尺度、高阶单元以提高分析精度，而在小梯度处采用大的分析尺度、较低阶单元以提高分析效率.在众多的小波当中，Daubechies小波(Daubechies，1988)因为具有紧支撑性、正交性等诸多优点，已引起国内外学者的广泛关注.Daubechies小波的紧支性保证了在没有截断误差的条件下，能以最小的单元自由度最大限度地逼近待求函数，通过阈值运算，达到待求系数最少；而正交性使得小波有限元的刚度矩阵是带状稀疏矩阵，从

而可以减少代数方程组的求解运算量；小波函数的消失矩特性指明Daubechies小波函数φN(x)可以精确地表征出不大于N-1阶的幂级数(Daubechies，1992).

Amaratunga等(1994)采用小波Galerkin法结合Dirichlet边界条件求解一维Helmholtz方程及二维Green方程(Amaratunga and Williams，1993)，指出了小波嵌套空间能在不同尺度下求解的优势；Sarkar等(1994)将小波函数引入到传统有限元插值函数中求解Maxwell方程，所得的系数矩阵呈对角线的稀疏分布，具有条件数不随维数增加的优点；Patton和Marks(1996)构造了一维Daubechies小波单元；西安交通大学机械自动化研究所在何正嘉等(2006)的带领下，涌现出一大批小波有限元数值模拟(Chen et al.，2004，2006)、裂纹织别(Dong et al.，2009)等应用研究优秀成果；杨仕友与倪光正(1999)将无穷区间Daubechies小波有限元法应用到了电磁场数值计算中；石陆魁等(2001)采用小波-Galerkin法求解了二维多介质静态电磁场边值问题；张新明等(2005)把小波有限元法引入到流体饱和多孔隙介质二维波动方程的正演模拟中；Chen等(2006)应用Daubechies小波开展了动态多尺度提升计算，并对小波有限元联系系数、刚度矩阵与载荷列阵的计算进行了详细的探讨；陈雅琴(2008)在其博士论文中提出一种基于广义变分原理的Daubechies条件小波法，使小波Galerkin法和小波Ritz法的求解精度得到了一定的提高；Mishra和Sabina(2011)应用小波Galerkin法求解一维谐波常微分方程及二维偏微分方程(Sabina and Mishra，2012)；Suk-In和Schulz (2013)应用小波Galerkin法求解非线性黏稠Burgers偏微分方程.综上所述，Daubechies小波有限元的研究取得了一些成果，但在地球物理领域仍处于起步阶段，有待进一步探索与