第二讲 参数方程
一、曲线的参数方程 第2课时 圆的参数方程
[A级 基础巩固]
一、选择题
??x＝－1＋2cos θ，
1．曲线?(θ为参数)围成图形的面积等于( )
?y＝3＋2sin θ?
A．π C．3π 答案：D
B．2π D．4π
2．圆x＋(y＋1)＝2的参数方程为( )
??x＝2cos θ，
A.?(θ为参数) ?y＝1＋2sin θ?
22
?x＝2cos θ，B.?(θ为参数) ?y＝1＋2sin θ??x＝2cos θ，C.?(θ为参数) ?y＝－1＋2sin θ?
?x＝2cos θ，D.?(θ为参数) ?y＝－1＋2sin θ解析：由x＝2cos θ，y＋1＝2sin θ知参数方程为?答案：D
3．已知圆O的参数方程是?33)，则参数θ＝( )
A.
7π4π11π5π
B. C. D. 6363
?x＝2cos θ，?y＝－1＋2sin θ(θ为参数)．
?x＝2＋4cos θ，
(0≤θ<2π)，圆上点A的坐标是(4，－
?y＝－3＋4sin θ?4＝2＋4cos θ，
解析：由题意?(0≤θ<2π)，
－33＝－3＋4sin θ?
1
cos θ＝，?2?5π所以?(0≤θ<2π)，解得θ＝. 33
??sin θ＝－2
答案：D
??x＝2＋cos α，22
4．P(x，y)是曲线?(α为参数)上任意一点，则(x－5)＋(y＋4)的最
?y＝sin α?
大值为( )
A．36
B．6
C．26
D．25
解析：设P(2＋cos α，sin α)，代入得：
(2＋cos α－5)＋(sin α＋4)＝25＋sin α＋cos α－6cos α＋8sin α＝26＋3??10sin(α－φ)?tanφ＝，φ为锐角?.所以最大值为36. 4??
答案：A
5．直线：3x－4y－9＝0与圆：?A．相切 C．直线过圆心
?x＝2cos θ，?
??y＝2sin θ2
2
2
2
(θ为参数)的位置关系是( )
B．相离
D．相交但直线不过圆心
解析：圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心， 9
又圆心到直线距离d＝<2.
5所以直线与圆相交，但不过圆心． 答案：D 二、填空题
6．已知动圆x＋y－2axcos θ－2bysin θ＝0(a，b是正常数，且a≠b，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________________．
解析：设P(x，y)为动圆的圆心，由x＋y－2axcos θ－2bysin θ＝0得：(x－acos θ)＋(y－bsin θ)＝acos θ＋bsin θ.
所以?
??x＝acos θ，??y＝bsin θ.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
??x＝acos θ，答案：?
?y＝bsin θ?
??x＝cos α，7．已知圆C的参数方程为?(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极
?y＝1＋sin α?
轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l和圆C的交点的直角坐标为________．
解析：由圆的参数方程知圆心的坐标为(0，1)，半径r＝1，由直线l的极坐标方程可知直线l的方程为y＝1，则根据图象可知直线l和圆C的交点为(－1，1)，(1，1)．
答案：(－1，1)，(1，1)
??x＝cos θ，
8．曲线C：?(θ为参数)的普通方程为__________．如果曲线C与直线
?y＝－1＋sin θ?
x＋y＋a＝0有公共点，那么a的取值范围是________．
??x＝cos θ，
解析：?(θ为参数)消参可得
?y＝－1＋sin θ?
x2＋(y＋1)2＝1，
|－1＋a|利用圆心到直线的距离d≤r得≤1，
2解得1－2≤a≤1＋2.
答案：x＋(y＋1)＝1 [1－2，1＋2] 三、解答题
9．已知P(x，y)是圆x＋y－2y＝0上的动点． (1)求2x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围． 解：方程x＋y－2y＝0变形为x＋(y－1)＝1，
??x＝cos θ，
其参数方程为?(θ为参数)．
?y＝1＋sin θ?
2
2
2
2
2
2
2
2
(1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1(其中φ由tan φ＝2确定)， 所以1－5≤2x＋y≤1＋5.
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R恒成立． 因为－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是2－1， 所以当且仅当c≥2－1时，x＋y＋c≥0恒成立．
10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆
C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈?0，?.
2
??
π??
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)＋y＝1(0≤y≤1)． 可得C的参数方程为?
?x＝1＋cos t，?
??y＝sin t2
2
(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆． 因为C在点D处的切线与l垂直，
π
所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝3，t＝.
3
ππ?3??3?故D的直角坐标为?1＋cos，sin ?，即?，?. 33???22?
B级 能力提升
??x＝2＋cos α，
1．P(x，y)是曲线?(α为参数)上任意一点，则P到直线x－y＋4＝0的
?y＝sin α?
距离的最小值是________ .
解析：由P在曲线?
??x＝2＋cos α，??y＝sin α上可得P的坐标为(2＋cos α，sin α)．
π??|2cos?α＋?＋6|
4??
2
由点到直线的距离公式得d＝
|cos α－sin α＋6|
2
＝，当
π?－2＋6?cos?α＋?＝－1时，d最小，dmin＝＝－1＋32.
4??2
答案：－1＋32
??x＝1＋2cos α，2．已知直线y＝x与曲线?(α为参数)相交于两点A和B，求弦长|AB|.
?y＝2＋2sin α?
解：由?
?x＝1＋2cos α，?
?x－1＝2cos α，?得?
??y＝2＋2sin α，y－2＝2sin α.??
2
2
所以(x－1)＋(y－2)＝4，其圆心为(1，2)，半径r＝2， 则圆心(1，2)到直线y＝x的距离d＝
|1－2|1＋（－1）
2＝22
. 2
所以|AB|＝2r－d＝2
22
?2?2
2－??＝14.
?2?
2
??x＝2＋tcos α，?x＝1＋cos θ，?3．已知圆C：(θ为参数)和直线l?(其中t为参数，?y＝sin θ??y＝3＋tsin αα为直线l的倾斜角)，
2π
(1)当α＝时，求圆上的点到直线l距离的最小值；
3(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．
2π
解：(1)当α＝时，直线l的直角坐标方程为3x＋y－33＝0，圆C的圆心坐标为
323
(1，0)，圆心到直线的距离d＝＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值
2为3－1.
(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)＋y＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t＋2(cos α＋3sin α)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α
2
2
2
π?3π?π?33??22?＋3sin α)－12≥0，则sin?α＋?≥，即sin?α＋?≥或sin?α＋?≤－.又6?46?26?2???π?3ππ2πππ?0≤α≤π，故只能sin?α＋?≥，即≤ α＋≤，即≤ α≤.
6?236362?
?ππ?故α的取值范围是?，?. ?62?
2020秋高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程第2课时圆的参数方程课堂演练含解析人教A版选修4_4
