?3ex(3x2?23x?2)?C． 5. 求
3x?3?x2?5x?6dx．
x?3?56??解：由上述可知2，所以
x?5x?6x?2x?3x?3?5611dx?(?)dx??5dx?6?x2?5x?6?x?2x?3?x?2?x?3dx
??5lnx?2?6lnx?3?C．
6. 求定积分?dx． 301?x832解：令3x?t，即x?t，则dx?3tdt，且当x?0时，t?0；当x?8时，t?2，于是
223tdtdx?12?2??3t?t?ln(1?t)?3ln3． ?01?3x?01?t???2?08 7. 计算
??0x2cosxdx．
解：令u?x2，dv?cosxdx，则du?2xdx，v?sinx，于是
??0x2cosxdx??x2dsinx?(x2sinx)?0??2xsinxdx??2?xsinxdx．
000???再用分部积分公式，得
?
8. 求
?0x2cosxdx?2?xdcosx?2?(xcosx)?0???0??cosxdx?
?0?? ?2?(xcosx)??0??sinx?0???2?．
1?x2?2x?8dx．
解：
1113?(x?1)dx?d(x?1)?ln?C ?x2?2x?8?(x?1)2?963?(x?1)12?xln?C． 64?x ?9. 求
dx?1?3x?2．
3解：令u?x?2，则x?u3?2，dx?3u2du，从而有
dx3u2u2?1?1 ???du?3?du
31?u1?u1?x?21u2)du?3(?u?ln1?u)?C ?3?(u?1?1?u211. 求
??212xe?xdx
2解：
?2122xe?x2dx??e12?x2dx?e2?x221?e?4?e?1
12. 求3x3?x3dx
2解：3x
13. 求
?3?xdx???332323?xd(3?x)??(3?x)?C
333?e1ln2xdx x解：
?e1eln2x111dx??ln2xd(lnx)?lnx?lne?
1x3331e14.求x3?xdx
3311212222223?xd(3?x)???(3?x)?C??(3?x)?C 解：?x3?xdx???22332?2
三、解答题
11. 若lim3x?ax2?x?1?,求a
x??6??解：因为3x?ax?x?1?29x2?ax2?x?13x?ax?x?12，所以a?9
否则极限不存在。
1322.讨论函数f(x)?x?2x?3x?3的单调性并求其单调区间
3解：f'(x)?x2?4x?3
由f'(x)?x2?4x?3?0得x1?1,x2?3
所以f(x)在区间(??,1)上单调增，在区间(1,3)上单调减，在区间(3,??)上单调增。
x2?x?23. 求函数f(x)?的间断点并确定其类型
x?2解：函数无定义的点为x?2，是唯一的间断点。 因limf(x)?3知x?2是可去间断点。
x?24. 设xy2?sinx?exy,求y?.
解：y2?2xy?y??cosx?exy(y?y?),
y(exy?y)?cosx故 y??
x(2y?exy)
(x?1)3x?25. 求y?的导数．
(x?3)5解：对原式两边取对数得：
1lny?3ln(x?1)?ln(x?2)?5ln(x?3),
2于是
y?3115????, yx?12x?2x?3(x?1)3x?23115[???]. 故 y??5x?12x?2x?3(x?3)
?x?acost6. 求由方程? 确定的导数y?x.
y?bsint?y?(t)bcostb2x???2. 解: y?x?x?(t)?asintay?1x?e,x?0?7. 函数f(x)??1,x?0在x?0处是否连续？
?tanx,x?0??
1xf(x)?lime?0 解：lim??x?0x?0x?0?limf(x)?limtanx?0 ?x?0故在x?0处不连续。
?1x?e,x?0?8. 函数f(x)??1,x?0在x?0处是否可导？
?tanx,x?0??f(x)?f(0)e?1?lim??
x?0x?0?xx所以在x?0处不可导。 解：因为lim?
2y?x9. 求抛物线与直线y?x所围成图形D的面积A.
1x
?y?x?x?0?x?1解: 求解方程组?，?，见图6-9，所以该图2得直线与抛物线的交点为?y?xy?1y?0???形在直线x?0与x=1之间，
y?x2为图形的下边界，y?x为图形的上边界，故
31?12??x?2A???x?x?dx??x?????.
0?2?0?3?06111
10. 计算由抛物线y2?2x与直线y?x?4围成的图形D的面积A.
?y2?2x解：求解方程组?得抛物线与直线的交点(2,?2)和(8,4)，见图6-10，下面分两种
?y?x?4方法求解.
y2 方法1 图形D夹在水平线y??2与y?4之间，其左边界x?，右边界x?y?4，
2故 A???yy?y?4?dy????2??2?2????422y??4y??6??2341?. 8方法2 图形D夹在直线x?0与x?8之间，上边界为y?2x，而下边界是由两条曲线y??2x与y?x?4分段构成的，所以需要将图形D分成两个小区域D1，D2，故
??A???2x?(?2x)??dx??2?2x??x?4??dx 0?32??232x?22?x2??2?x2??4x??18.
30?32?22828
11. 设y是由方程y?siny?xey确定的函数，求y? 解：两边对x求导得
y'?y'cosy?ey?xeyy'
ey整理得y'?
1?cosy?xey12.求证： lnx?x?1,x?1 证明：令f(x)?(x?1)?lnx
因为f'(x)?1?1x?1??0 xxx?1。
所以f(x)?0，
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