1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念
明目标、知重点
1．了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
1．函数的变化率
平均变化率 定义 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为实例 ①平均速度；②曲线割线的斜率 f?x2?－f?x1?Δy，简记作： x2－x1Δx函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)瞬时变化率 物体在某一时刻从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，①瞬时速度：f?x0＋Δx?－f?x0?Δy即Δlim ＝lim x→0Δx→0ΔxΔx的速度；②切线斜率 2.函数f(x)在x＝x0处的导数 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或
y′|x＝x0，即f′(x0)＝Δlim x→0
Δyf?x0＋Δx?－f?x0?
＝Δlim . x→0ΔxΔx
[情境导学]
某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一 平均变化率的概念 思考1 气球膨胀率
很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？
33V答 气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝ ，
4π(1)当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了
r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，
气球的平均膨胀率为
r?1?－r?0?
1－0
≈0.62(dm/L)．
(2)当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为
r?2?－r?1?
2－1
≈0.16(dm/L)．
可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 结论 当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是思考2 高台跳水
人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系
r?V2?－r?V1?
. V2－V1
h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
计算运动员在时间段①0≤t≤0.5，②1≤t≤2内的平均速度v，并思考平均速度有什么作用？ 答 ①在0≤t≤0.5这段时间里，
h?0.5?－h?0?v＝＝4.05(m/s)；
0.5－0
②在1≤t≤2这段时间里，
h?2?－h?1?v＝＝－8.2(m/s)．
2－1
由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．
思考3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？
答 如果上述两个思考中的函数关系用y＝f(x)表示，那么思考中的变化率可用式子
f?x2?－f?x1?
表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以
x2－x1
描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考1中的平均变化率表示在空气容量从V1增加到
V2时，气球半径的平均增长率．思考2中的平均变化率表示在时间从t1增加到t2时，高度h的平均增长率．
ΔyΔy思考4 平均变化率也可以用式子表示，其中Δy、Δx的意义是什么？有什么几何意
ΔxΔx义？
答 Δx表示x2－x1是相对于x1的一个“增量”；Δy表示f(x2)－
f(x1)．Δx、Δy的值可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．
Δy观察图象可看出，表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))
Δx连线的斜率．
Δyf?x2?－f?x1?
小结 平均变化率为＝，其几何意义是：函数y＝f(x)的图象上两点(x1，f(x1))、
Δxx2－x1(x2，f(x2))连线的斜率．
例1 已知函数f(x)＝2x＋3x－5.
Δy(1)求当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；
ΔxΔy(2)求当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率；
Δx(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义． 解 f(x)＝2x＋3x－5， ∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
＝2(x1＋Δx)＋3(x1＋Δx)－5－(2x1＋3x1－5) ＝2[(Δx)＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)＋(4x1＋3)Δx ＝2(Δx)＋19Δx.
Δy2?Δx?＋19Δx＝＝2Δx＋19. ΔxΔx(1)当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，
Δy2
Δy＝2(Δx)＋19Δx＝2＋19＝21，＝21.
Δx(2)当x1＝4，x2＝4.1时Δx＝0.1， Δy＝2(Δx)＋19Δx＝0.02＋1.9＝1.92. Δy＝2Δx＋19＝19.2. ΔxΔyf?x2?－f?x1?f?5?－f?4?
(3)在(1)题中＝＝，
Δxx2－x15－4
它表示抛物线上点P0(4,39)与点P1(5,60)连线的斜率． Δyf?x2?－f?x1?f?4.1?－f?4?
在(2)题中，＝＝，
Δxx2－x14.1－4
22222
2
2
2
2
高中数学第一章导数及其应用1.1.1_1.1.2变化率问题导数的概念课时作业新人教版
