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第十一章曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

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第十一章解题方法归纳

一、曲线积分与曲面积分的计算方法

1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下:

(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分.

(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时,常用到如下一些结论: (1)若积分曲线L关于y轴对称,则

?L f对x为奇函数??0 f(x,y)ds??2f(x,y)dsf对x为偶函数???L1??0 P对x为奇函数?LP(x,y)dx??2?P(x,y)dyP对x为偶函数

??L1??0 Q对x为偶函数?LQ(x,y)dy??2?Q(x,y)dyQ对x为奇函数

??L1其中L1是L在右半平面部分.

若积分曲线L关于x轴对称,则

?L f对y为奇函数??0 f(x,y)ds??2f(x,y)dsf对y为偶函数???L1??0 P对y为偶函数?LP(x,y)dx??2?P(x,y)dyP对y为奇函数

??L1??0 Q对y为奇函数?LQ(x,y)dy??2?Q(x,y)dyQ对y为偶函数

??L1其中L1是L在上半平面部分.

(2)若空间积分曲线L关于平面y?x对称,则

?Lf(x)ds??f(y)ds.

L

(3)若积分曲面?关于xOy面对称,则

????0 f对z为奇函数?f(x,y,z)dS??2R(x,y,z)dSf对z为偶函数

?????1?0 R对z为偶函数?R(x,y,z)dxdy??2R(x,y,z)dxdyR对z为奇函数 ????????1其中?1是?在xOy面上方部分.

若积分曲面?关于yOz面对称,则

????0 f对x为奇函数?f(x,y,z)dS??2R(x,y,z)dSf对x为偶函数

?????1?0 P对x为偶函数?P(x,y,z)dydz??2P(x,y,z)dydzP对x为奇函数 ????????1其中?1是?在yOz面前方部分.

若积分曲面?关于zOx面对称,则

????0 f对y为奇函数?f(x,y,z)dS??2R(x,y,z)dSf对y为偶函数

?????1?0 Q对y为偶函数?Q(x,y,z)dzdx??2Q(x,y,z)dzdxQ对y为奇函数 ????????1其中?1是?在zOx面右方部分.

?x?x(t)(4)若曲线弧L:?(??t??),则

?y?y(t)??Lf(x,y)ds??f?x(t),y(t)?x?2(t)?y?2(t)dt??(???)

若曲线弧L:r?r(?)(?????)(极坐标),则

Lf(x,y)ds??f?r(?)cos?,r(?)sin??r2(?)?r?2(?)d?

???x?x(t)?若空间曲线弧?:?y?y(t)(??t??),则

?z?z(t)?

???f(x,y,z)ds??f?x(t),y(t),z(t)?x?2(t)?y?2(t)?z?2(t)dt(???)

??x?x(t)(5)若有向曲线弧L:?(t:???),则

y?y(t)??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?????P?x(t),y(t)?x?(t)?Q?x(t),y(t)?y?(t)?dt

?x?x(t)?若空间有向曲线弧?:?y?y(t)(t:???),则

?z?z(t)??????P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz

??P?x(t),y(t),z(t)?x?(t)?Q?x(t),y(t),z(t)?y?(t)?R?x(t),y(t),z(t)?z?(t)?dt

(6)若曲面?:z?z(x,y)((x,y)?Dxy),则

???2?2f(x,y,z)dS???f?x,y,z(x,y)?1?z?x(x,y)?zy(x,y)dxdy

Dxy其中Dxy为曲面?在xOy面上的投影域.

若曲面?:x?x(y,z)((y,z)?Dyz),则

??f(x,y,z)dS???f?x(y,z),y,z??Dyz2?21?x?y(y,z)?xz(y,z)dydz

其中Dyz为曲面?在yOz面上的投影域.

若曲面?:y?y(x,z)((x,z)?Dzx),则

??f(x,y,z)dS???f?x,y(x,z),z??Dzx2?21?y?z(y,z)?yx(y,z)dzdx

其中Dzx为曲面?在zOx面上的投影域.

(7)若有向曲面?:z?z(x,y),则

) ??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy(上“+”下“-”

?Dxy其中Dxy为?在xOy面上的投影区域.

若有向曲面?:x?x(y,z),则

) ??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz(前“+”后“-”

?Dyz其中Dyz为?在yOz面上的投影区域.

第十一章曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下:(1)利用性质计算曲线积分和曲面积分.(2)直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分(3)利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分.(4)利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分.(5)利用斯托克斯公式计算
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