第十一章解题方法归纳
一、曲线积分与曲面积分的计算方法
1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：
(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分.
(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L关于y轴对称，则
?L f对x为奇函数??0 f(x,y)ds??2f(x,y)dsf对x为偶函数???L1??0 P对x为奇函数?LP(x,y)dx??2?P(x,y)dyP对x为偶函数
??L1??0 Q对x为偶函数?LQ(x,y)dy??2?Q(x,y)dyQ对x为奇函数
??L1其中L1是L在右半平面部分.
若积分曲线L关于x轴对称，则
?L f对y为奇函数??0 f(x,y)ds??2f(x,y)dsf对y为偶函数???L1??0 P对y为偶函数?LP(x,y)dx??2?P(x,y)dyP对y为奇函数
??L1??0 Q对y为奇函数?LQ(x,y)dy??2?Q(x,y)dyQ对y为偶函数
??L1其中L1是L在上半平面部分.
（2）若空间积分曲线L关于平面y?x对称，则
?Lf(x)ds??f(y)ds.
L
（3）若积分曲面?关于xOy面对称，则
????0 f对z为奇函数?f(x,y,z)dS??2R(x,y,z)dSf对z为偶函数
?????1?0 R对z为偶函数?R(x,y,z)dxdy??2R(x,y,z)dxdyR对z为奇函数 ????????1其中?1是?在xOy面上方部分.
若积分曲面?关于yOz面对称，则
????0 f对x为奇函数?f(x,y,z)dS??2R(x,y,z)dSf对x为偶函数
?????1?0 P对x为偶函数?P(x,y,z)dydz??2P(x,y,z)dydzP对x为奇函数 ????????1其中?1是?在yOz面前方部分.
若积分曲面?关于zOx面对称，则
????0 f对y为奇函数?f(x,y,z)dS??2R(x,y,z)dSf对y为偶函数
?????1?0 Q对y为偶函数?Q(x,y,z)dzdx??2Q(x,y,z)dzdxQ对y为奇函数 ????????1其中?1是?在zOx面右方部分.
?x?x(t)（4）若曲线弧L:?(??t??)，则
?y?y(t)??Lf(x,y)ds??f?x(t),y(t)?x?2(t)?y?2(t)dt??(???)
若曲线弧L:r?r(?)(?????)（极坐标），则
Lf(x,y)ds??f?r(?)cos?,r(?)sin??r2(?)?r?2(?)d?
???x?x(t)?若空间曲线弧?:?y?y(t)(??t??)，则
?z?z(t)?
???f(x,y,z)ds??f?x(t),y(t),z(t)?x?2(t)?y?2(t)?z?2(t)dt(???)
??x?x(t)（5）若有向曲线弧L:?(t:???)，则
y?y(t)??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?????P?x(t),y(t)?x?(t)?Q?x(t),y(t)?y?(t)?dt
?x?x(t)?若空间有向曲线弧?:?y?y(t)(t:???)，则
?z?z(t)??????P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz
??P?x(t),y(t),z(t)?x?(t)?Q?x(t),y(t),z(t)?y?(t)?R?x(t),y(t),z(t)?z?(t)?dt
（6）若曲面?:z?z(x,y)((x,y)?Dxy)，则
???2?2f(x,y,z)dS???f?x,y,z(x,y)?1?z?x(x,y)?zy(x,y)dxdy
Dxy其中Dxy为曲面?在xOy面上的投影域.
若曲面?:x?x(y,z)((y,z)?Dyz)，则
??f(x,y,z)dS???f?x(y,z),y,z??Dyz2?21?x?y(y,z)?xz(y,z)dydz
其中Dyz为曲面?在yOz面上的投影域.
若曲面?:y?y(x,z)((x,z)?Dzx)，则
??f(x,y,z)dS???f?x,y(x,z),z??Dzx2?21?y?z(y,z)?yx(y,z)dzdx
其中Dzx为曲面?在zOx面上的投影域.
（7）若有向曲面?:z?z(x,y)，则
） ??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy（上“+”下“-”
?Dxy其中Dxy为?在xOy面上的投影区域.
若有向曲面?:x?x(y,z)，则
） ??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz（前“+”后“-”
?Dyz其中Dyz为?在yOz面上的投影区域.
第十一章曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)
