几何模型压轴题（提升篇）（Word版 含解析）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝【解析】 【分析】
（1）由已知易得BD?CE，利用三角形的中位线得出PM?49． 211CE，PN?BD，即可22得出数量关系，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出?DPM??DCA，最后用互余即可得出位置关系；
（2）先判断出?ABD??ACE，得出BD?CE，同（1）的方法得出PM?1BD，2PN?1BD，即可得出PM?PN，同（1）的方法由2?MPN??DCE??DCB??DBC??ACB??ABC，即可得出结论；
（3）方法1：先判断出MN最大时，?PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大?AM?AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD最大时，?PMN的面积最大，而BD最大是AB?AD?14，即可得出结论． 【详解】 解：（1）
点P，N是BC，CD的中点，
?PN//BD，PN?1BD， 2点P，M是CD，DE的中点，
?PM//CE，PM?1CE， 2AB?AC，AD?AE， ?BD?CE， ?PM?PN， PN//BD，
??DPN??ADC， PM//CE，
??DPM??DCA， ?BAC?90?，
??ADC??ACD?90?，
??MPN??DPM??DPN??DCA??ADC?90?， ?PM?PN，
故答案为：PM?PN，PM?PN；
（2）?PMN是等腰直角三角形． 由旋转知，?BAD??CAE，
AB?AC，AD?AE，
??ABD??ACE(SAS)，
??ABD??ACE，BD?CE，
11利用三角形的中位线得，PN?BD，PM?CE，
22?PM?PN，
??PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM//CE， ??DPM??DCE，
同（1）的方法得，PN//BD， ??PNC??DBC，
?DPN??DCB??PNC??DCB??DBC，
??MPN??DPM??DPN??DCE??DCB??DBC
??BCE??DBC??ACB??ACE??DBC ??ACB??ABD??DBC??ACB??ABC， ?BAC?90?，
??ACB??ABC?90?， ??MPN?90?，
??PMN是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，?PMN是等腰直角三角形，
?MN最大时，?PMN的面积最大， ?DE//BC且DE在顶点A上面， ?MN最大?AM?AN，
连接AM，AN，
在?ADE中，AD?AE?4，?DAE?90?，
?AM?22，
在Rt?ABC中，AB?AC?10，AN?52， ?MN最大?22?52?72，
?S?PMN最大?111149PM2??MN2??(72)2?． 22242方法2：由（2）知，?PMN是等腰直角三角形，PM?PN?1BD， 2?PM最大时，?PMN面积最大， ?点D在BA的延长线上，
?BD?AB?AD?14，
?PM?7，
?S?PMN最大?1149PM2??72?． 222【点睛】
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出
11PM?CE，PN?BD，解（2）的关键是判断出?ABD??ACE，解（3）的关键
22是判断出MN最大时，?PMN的面积最大．
2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．
（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为 ．
（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；
（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，
求出最小值：若不存在，说明理由．
【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3． 【解析】 【分析】
（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】
解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AD， ∴AD＝2BC＝12， ∴△ABD的面积＝故答案为：36；
（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，
11AD?BC＝?12×6＝36， 22
∴∠H＝∠C＝90°， ∵△BPQ是等腰直角三角形， ∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，
∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，
∴∠PQH＝∠BPC， ∴△PQH≌△BPC（AAS）， ∴PH＝BC，QH＝CP， ∵AC＝BC， ∴PH＝AC， ∴CP＝AH， ∴QH＝AH， ∴∠HAQ＝45°， ∵∠BAC＝45°，
∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴AB⊥AQ；
（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，
∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°， ∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°， ∴∠EAC＝30°，
则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN， ∵点C和点D关于AF对称， ∴AD＝AC＝6， ∵∠AND＝90°， ∴DN＝
11AD＝?6＝3， 22∴CM+NM最小值为3． 【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．综合与探究：
如图1，RtAOB的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA?4，OB?2，将线段AB绕点B顺时针旋转90?得到线段BC，过点C作
CD?x轴于点D，抛物线y?ax2?3x?c经过点C，与y轴交于点E(0,2)，直线AC与x轴交于点H．
几何模型压轴题(提升篇)(Word版 含解析)
