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精锐教育学科教师辅导讲义
年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 直线的倾斜角和斜率（一） 1、 了解直线的倾斜角和斜率的概念； 2、 掌握直线的倾斜角、斜率与直线的方向向量三者之间的关系； 3、掌握之嫌的点斜式方程和一般方程，掌握同一条直线的不同形式的方程之间的联系和转化 教学内容 教学目的 【知识梳理】 1、倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为?0,??. 斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan?;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。 2、求直线斜率的方法 ①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα. ②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=y2?y1. x2?x1n. m平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率. 斜率的图象如下图. ③方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=k?2O?? 对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank，k＜0时，α=π+arctank. 3、直线方程的几种形式：（补充） 名称 斜截式 点斜式 两点式 方程 y=kx+b y-y0=k(x-x0) 适用范围 不含垂直于x轴的直线 不含直线x=x0 不含直线x=x1(x1≠x2)和 直线y=y1(y1≠y2) y?y1x?x1? y2?y1x2?x1一般式 Ax?By?C?0(A2?B2?0) 平面直角坐标系内的直线都适用 精锐教育网站：www.1smart.org - 1 - 精锐教育· 考试研究院
中小学个性化教育专家 【课前热身】 1、已知直线l上两点A、B，求直线l的倾斜角?和斜率k. (1)A(1,3) B(5,-1) ; (2)A(1,2) B(1,-1) ;(3)A(0,5) B(-1,5) 答案：（1）倾斜角??(2) 倾斜角??3?，斜率k=-1 4?2（3）倾斜角??0，斜率k=0 2、求下列直线的倾斜角和斜率 ，斜率不存在 x?2y?5?;(2)?2(x?7)?y?6;(3)x?1?0;(4)y?3. 3444答案：（1）倾斜角??arctan，斜率k= 3344（2）倾斜角??arctan，斜率k= 33(1)（3）倾斜角???2，斜率不存在 （4）倾斜角??0，斜率k=0 3、填空题 （1）若直线l的倾斜角?满足（2）若直线l的斜率为?3????，则直线l的斜率的范围是 444，而直线m的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，则直线m的斜率是 33则直线l的斜率是 2（3）若直线l的倾斜角的正弦是（4）若直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形，则该直线的倾斜角为 答案：（1）(??,?1][1,??)）（2）?24?3（3）3或?3（4）或? 744【典型例题分析】 例1、（1）过点（-3,2），求直线l1,使其倾斜角为x-y+5=0的两倍。 （2）过点（-3,2），求直线l2,使其倾斜角为x-y+5=0的两倍。 答案：（1）x=-3 (2)y?2?变式练习： 1、已知直线l:2x?5y?10?0，求直线l的点法向式方程和点方向式方程。 【分析】首先在l上确定一个点，通常取与坐标轴的交点，令x?0，得y??2，即?0,?2?是直线l上的一点坐标。 由l的方程，可知n??2,?5?，d??5,2?所以直线l的点法向式方程为2x?5?y?2??0 直线l的点法向式方程为4(x?3) 3xy?2? 52精锐教育网站：www.1smart.org - 2 - 精锐教育· 考试研究院
中小学个性化教育专家 【答案】2x?5?y?2??0；xy?2 ?522、 （1）求过点A??2,5?，且平行于直线l1:4x?3y?9?0的直线方程。 （2）求过点B?3,?4?，且垂直与直线l2:3x?7y?6?0的直线方程。 【分析】本题解题的关键是利用直线的法向量和方向向量的关系互相转化 【解】（1）n??4,?3?是l1:4x?3y?9?0的一个法向量，也是所求直线的法向量，由点法式方程所知，所求直线方程为：4?x?2??3?y?5??0，整理得4x?3y?23?0 （2）n2??3,7?是l2:3x?7y?6?0的一个法向量，也是所求直线的方向向量，由点方向式方程知，所求直线方程是x?3y?4，整理得：7x?3y?33?0 ?373、已知点P?1,?1?，直线l的方程为2x?2y?1?0 （1）求过点P，倾斜角为l的倾斜角的一半的直线方程； （2）求过点P，倾斜比为l的倾斜角大45°的直线方程 【解】（1）设直线l的倾斜角为?，则tan??2 2?0??? ?21 6cos???3tan2??1所以所求直线的斜率为k?tan所以所求直线方程为y?1?即?2?1?cos??3?2 1?cos??3?2??x?1? ?3?2x?y?3?2?1?0 ?（2）设直线l的倾斜角为?，则所求直线的倾斜角为??45°，那么所求直线的斜率为 k?tan???45???3?22 所以所求直线方程为 y?1?3?22???x?1?，即?3?22?x?y?22?4?0 例2、已知直线l1:?a?3??x?1???2a?5??y?1??0;l2:?1?2a??x?3???a?3??y?4??0 （1）若l1与l2的方向向量平行，求a的值； （2）若l1?l2，求a的值。 精锐教育网站：www.1smart.org - 3 - 精锐教育· 考试研究院
中小学个性化教育专家 【分析】本题中的两个问题都与直线方程向量有关，因此首先确定直线的方向向量d1??2a?5,?a?3?，d2??a?3,?1?2a? 【答案】（1）?4?86 （2）?2 5变式练习：（1）直线l经过点A?1,m?,B?m,?1?，求直线l的一个方向向量d，斜率k和倾斜角?； （2）若三点A?m,2?,B??4,2m?,C?5,1?在同一直线上，求m的值。 ?不存在，m?1?【答案】（1）d??m?1.?m?1?,k??m?1 ,m?1??1?mm?1?arctan,?1?m?1?1?m??? ???,m?1?2m?1???arctan,m??1或m?1?1?m?（2）解法一：AB???4?m,2m?2?,BC??9,1?2m?，由于AB与BC平行，故?4?m2m?27??m?2或 91?2m2解法二：由于三点A?m,2?,B??4,2m?,C?5,1?在同一直线上，故kAB?kBC 从而2?2m1?2m7??m?2或 m?45?42例3、如图所示，过点P?2,1?作直线l，与x轴、y轴正半轴分别交于A,B两点，求AOB面积的最小值以及直线l的方程。 【答案】解法一：设直线l的方程为y?1?k?x?2? 令y?0,则x?y2k?1 kB0PAx令x?0,则y?1?2k ?2k?1??A?,0?,B?0,1?2k?，又两点在正半轴 2??精锐教育网站：www.1smart.org - 4 - 精锐教育· 考试研究院
中小学个性化教育专家 ?2k?1?0??k?0 所以?2??1?2k?0S?11?1?OAOB??4??4k? 22?k?AOB由?11?1??0,?4k?0 有??4k?2?????4k??4 kk?k?11??4k,k??时，Sk2AOB当且仅当? 有最小值为4，此时l的方程x?2y?4?0 xy??1?a?0,b?0? ab211 P?2,1?在l上，??? ab2解法二：设直线l的方程为：21211??2?ab?4 abab2211??时，即a?4,b?2时，SAOB有最小值为4，此时l的方程x?2y?4?0 ab212k?1解法三：由解法一可知 S??1?2k?，整理得，4k2?2?S?2?k?1?0 2k 当且仅当 k?R??4?S?2??16?0?S?4 1，以下同解法一 22 当且仅当S?4时，k??解法四：由解法二得b? 所以S2 a?2AOB1a21?4??ab????a?2???2?4 22?a?2?2?a?2??2 当且仅当?a?2??4,a?4，以下同解法二 解法五：由解法四得SAOB1a22，整理得，a?2aS?4S?0 ?ab?22?a?2? ??4S?16S?0?S?4 当S?4时，以下同解法二 解法六：如图，过P分别做x轴、y轴的垂线PM,PN,并设 ???PAM, 2精锐教育网站：www.1smart.org - 5 - 精锐教育· 考试研究院
数学高二（下）沪教版（直线的倾斜角和斜率（一））教师版_20180420122650
