（A）y?log3x （B）y?3 （C）y?3x （D）y?3sinx
（7）下列函数中，函数值恒大于零的是
2x（A）y?x （B）y?2 （C）y?log2x （D）y?cosx
x2（8）曲线y?x?1与直线y?kx只有一个公共点，则k= （A）?2或2 （B）0或4 （C）?1或1 （D）3或7
y?2x?22y??????y?x2?1的切线y??2x就与y?x2?1只有一个公共点，???2?y?x?1y???2??y??2x?y?2x??x??1,k?y??2???2xy?2x????xy??2x（9）函数y?lgx?3-x的定义域是
（A）（0，∞） （B）（3，∞） ?（C）(0，3] （D）（?∞，3] [由lgx得x>0，由3-x得x?3，xx?0I（13）过函数y????xx?3?=?x0 6上的一点P作x轴的垂线PQ，Q为垂足，O为坐标原点，则?OPQ的面积为 x（A）6 （B）3 （C）12 （D）1 [设Q点的坐标为x，则S?OPQ?116yx??x?3] 22x五、数列 2014年 (11) 在等差数列?an?中，a5?8，前5项之和为10，前10项之和等于（ ） (A) 95 (B) 125 (C) 175 (D) 70 5(a1?a5)5(a5?4d?a5)5(8?4d?8)===10，d=3 2225(a10?a6)5(a5?5d?a5+d)5(2a5?6d)5(2?8?6?3) S10=S5?=S5?=S5?=10?=95 2222?an?1?2an?3bn(23) (本小题11分) 设数列?an?，?bn?满足a1?1，b1?0且?n?1,2,3,......。 ?bn?1?an?2bn注：S5= (ii)求?an?，?bn?的通项公式。 (i)求证an?3bn和an?3bn都是等比数列并求其公比； ?????1，，， 2 7 29， ???， 2an?1?3bn?1??an?：证(i) ? 0，，， 1 4 43???， an-1?2bn-1???bn?： an?3bn:1， 2?3， 7?43， 29?153， ???， an?3bn ? ?a??3b?:1， 2?3， 7?43， 29?153， ???， a?3b 可见?a?3b?与?a?3b?的各项都不为0. a?3b=2a?3b?3a?23b=?2+3?a??3?23?b=?2+3??a?3b? a?3bq==?2+3?， 所以，?a?3b?是等比数列且其公比为q=2+3 ?a?3b?a?3b=2a?3b?3a?23b=?2?3?a??3?23?b=?2?3??a?3b? nnnnnnnnn?1n?1nnnnnnnnn?1nn?1nnnn?1n?1nnnnnnnn11 / 32 an?1?3bn?1an?3bn=2?3 所以，an?3bn是等比数列且其公比为q=2?3 ??n?1(ii) 由an?a1q得 1??n?1n?1?a=(2?3)?(2?3)n?????an?3bn=(2?3) 2， 得： ??n?13??b=?(2?3)n?1?(2?3)n?1??an?3bn=(2?3) ??n6?n?12014年 （12） 设等比数列{an}的公比q?2，且a2?a4?8，则a1?a7等于（ ） （A）8 B．16 （C）32 （D）64 （a1?a7?a2 ?a4q3?a2a4q2?8?22?32）q（24）（本小题12分）数列{an}和数列{xn}的通项公式分别是an?21?2n?1，2n?2n?2xn?(n?1)2?1?a1a2???an。 （Ⅰ）求证{xn}是等比数列； （Ⅱ）记Sn?x1?x2???xn，求Sn的表达式。 证（Ⅰ）因an>0，(n?1)2?1?>?，故{xn}为正数列。当n>2时 (n?1)2?1?a1a2???an(n?1)2?1?(n?1)2?1?xn2n?1==an=21?2xn?1n?2n?2n2?1?a1a2???an?1n2?1?n2?1?=2(n?1)?1?n2?1?2 n?1=2n2?2n?22 可见{xn}的公比是常数2，故{xn}是等比数列。 x3（Ⅱ）由x1?5g2g1??2，q?n?2得：5xn?1a1(1?qn)2(1?2n)Sn?x1?x2?????xn???2(2n?1)(2?1)?(2n?1) (23?2)1?q 1?2?2n?3?2n?2?23?2?(2)n?3?(2)n?2?22?22015年 （23）已知数列（Ⅰ）求 ?an?的通项公式， na（Ⅱ）设b?，求数列?bn?的前n项和. 2nnn?an?的前n项和Sn?2an?3. 解（Ⅰ）当n?1时，a1?S1?2a1?3，故a1?3， 当n?2时，an?Sn?Sn-1?2an?3?(2an?1?3)?2an?2an?1， 故an?2an?1，q?an2a?n?1?2，所以，an?a1qn?1?3?2n?1 an?1an?1nann?3?2n?13n（Ⅱ）bn?n?， ?n2223nbn2∵q?n? ，∴?bn?不是等比数列 ?bn?13(n?1)n?1212 / 32 ∵d?bn?bn?1?3n3(n?1)3??， ∴?bn?是等差数列 22233(?n)n3n(b1?bn)?n22??(n?1) ?bn?的前n项和：Sn?2242015年 （7）设?an?为等差数列，a5?9，a15?39，则a10? （A）?? （B）?? （C）?? （D）?? 1??a?a?9d,??a?a?2a?18d?2a,??a是a和a的等差中项，a?(a?a)?24 1015151101051510515??2??（23）（本小题满分12分） 设?an?为等差数列且公差d为正数，a2?a3?a4?15，a2，a3?1，a4成 等比数列，求a1和d. 解 由a2?a3?a4?3a3?15，得a3?5， a2?a4?10???????① 22由a2，a3?1，a4成等比数列，得a2ga4?(a3?1)?(5?1)?16 ② 由?2016年 ??a2?a4?10????????①?a21??2???????d?a3?a2?5?2?3，得?，? a?a?d?2?3??12??a2ga4?16 ②?a22?8(大于a3,舍去) ?1（13）在等差数列?an?中，a3?1，a8?11，则a13? （A）?? （B）?? （C）?? （D）?22 ?a8?a3?(8?3)d?1?5d?11, d?2, a13?a3?(13?3)d?1?10d?1?10?2?21? ??或者这样解：a是a和a的等差中项，2a=a+a，a=2a?a=2?11?1=21831381331383??（22）（本小题满分12分） 已知等比数列?an?的各项都是正数，a1?2，前3项和为14。求： （Ⅰ）数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?log2an，求数列?bn?的前20项之和。 a1(1?q3)2(1?q3)2(1?q)(1?q?q2)???14， 解（Ⅰ）S3?1?q1?q1?q得q?q?6，?2?q1?2n?1n?1n，所以，an?a1q?2?2?2 ?q2??3(不合题意,舍去)n（Ⅱ）bn?log2an?log22?n， 数列?bn?的前20项的和为S20?1?2?3?L?20?2016年 （6）在等差数列?an?中，a3?1，a5??7，则a7? (1?20)?20?210 2（A）?11 （B）?13 （C）?15 （D）?17 ?a5?a3?(7?3)d?1?2d??7, d??4, a7?a5?2d??7?2?(?4)=?15? （22）（本小题12分） 已知等比数列?an?中，a3?16，公比q?（Ⅰ）数列?an?的通项公式； （Ⅱ）数列?an?的前7项的和。 13 / 32 1。求： 2?1??1?2解（Ⅰ）a3?a1q，a1???=16，a1=64，an?a1qn?1?64????2??2?2n?1?27?n?26?21?n?27?n ??1?7?64?1????7n2????a1(1?q)11????????（Ⅱ）S7???128?1????=128?1???127 11?q?128????2???1?22016年 （13）设等比数列?an?的各项都为正数，a1?1，a3?9，则公比q? （A）3 （B）2 （C）－2 （D）－3 （23）（本小题满分12分） 已知数列?an?的前n项和为Sn?n(2n?1), （Ⅰ）求该数列的通项公式； （Ⅱ）判断an?39是该数列的第几项. 解（Ⅰ） 当n?2时，an?Sn?Sn-1?n(2n?1)?(n?1)?2(n?1)?1??4n?1 当n?1时，a1?S1?1?(2?1?1)?3，满足an?4n?1， 所以，an?4n?1 （Ⅱ） an?4n?1?39，得n?10. 2016年 （15）在等比数列?an?中, a2=6，a4=24，a6= 2??a42422（A）8 （B）24 （C）96 ?a2a6?a4?a6???96? （D）384 a26??（22）已知等差数列?an?中，a1?9，a3?a8?0 （Ⅰ）求等差数列的通项公式 （Ⅱ）当n为何值时，数列?an?的前n项和Sn取得最大值，并求该最大值 解（Ⅰ）设该等差数列的公差为d，则 a3?a1?2d，a8?a1?7d，a3?a8?a1?2d?a1?7d?2a1?9d?0 将a1?9代入2a1?9d?0得：d??2， 该等差数列的通项公式为an?a1?(n-1)d?9?(n-1)?(?2)?11?2n （Ⅱ）数列?an?的前n项之和 n(a1?an)n(9?11?2n)??10n?n2 22??10?2n?0，n?5，Snmax?(10n?n2)令SnSn?n?5?25 六、导数 2013年 (22) (本小题11分) 某种图书定价为每本a元时，售出总量为b本。如果售价上涨x%，预计售出总量 将减少0.5x%，问x为何值时这种书的销售总金额最大。 解 涨价后单价为a(1?x0.5x)元/本，售量为b(1?)本。设此时销售总金额为y，则： 100100x0.5x0.5x0.5x20.5xy=a(1?)b(1?)=ab(1??), 令y?=ab(?)=0，得x?50 1001001001000010010000所以，x?50时，销售总金额最大。 2014年 14 / 32 （7） 函数y?12x?x?3的最小值是 257（A）? （B）? （C）?3 （D）?4 2211217???y?2x?1,x??,y?2?（?）?（?）?3?? min??2222??（22）（本小题12分） 计划建造一个深为4m，容积为1600m3的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造 价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？ 解 设池底边长为x、y，池壁与池底造价的造价之和为u，则xy?1600400 ?400，y?4x400400u?40xy?20?4(2x?2y)?40?400?160(x?y)?16000?160(x?)， u?=160(1?2)xx 400令u?=0，得1?2?0，x?20(x??20舍去)x?400?x?20)? umin??16000?160?(x?x???16000?160?(20?400)?22400(元) 20答：池壁与池底的最低造价之和为22400元 2014年 （10）函数y?2x?x?1在x?1处的导数为 （A）5 （B）2 （C）3 （D）4?y?32?x?1?(6x2?2x)x?1?4?? 2014年 （15）f(x)?x?3，则f?(3)= （A）27 2015年 （17）函数y?x(x?1)在x?2处的导数值为 5 ??y?33?f?(3)?3x2x?3?27? （B）18 （C）16 （D）12 x?2?(2x?1)x?2?5?? （21）求函数y?x?3x在区间[0,2]的最大值和最小值（本小题满分12分） 22解 令y??3x?3?3(x?1)?3(x?1)(x?1)?0，得x1?1，x2??1（不在区间[0,2]内，舍去） ?0, yx?1?13?3?1??2, yx?2?23?3?2?2 3可知函数y?x?3x在区间[0,2]的最大值为2，最小值为?2. yx?02015年 （17）已知P为曲线y?x上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是 （A）3x?y?2?0 （B）3x?y?4?0 （C）3x?y?2?0 （D）3x?y?2?0 3?k?y??2016年 2x?1??3x2?x?1?3, P点的坐标：(1,1), y?1?3(x?1)?3x?y?2?0? ?（12）已知抛物线y?4x上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为 （A）或?45455 （B）或? （C）1或?1 （D）3或?3 5441y?2?2由y?2px和y?4x得p=2, x?p?5???x?4 ?y??4????k???1?? 2x??（18）函数y?x?x在点（1，2）处的切线方程为 y?3x?1 15 / 32 2
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