根据 ln13(a?b)?12ln132(a?b)?12lna2?b2?2ab9及a2?b2?7ab可知
ln
13(a?b)?12ln(ab)．
三、代数方程和简单的超越方程 1．设c?0，若x1,x2是方程x2xx2233?bx?c?0的两个根，求x1?x2,x1?x2，2?1，x1?x2．
x1x2分析：根据韦达定理可知 x1?x2??b,x1x2?c，所以
x1?x2?(x1?x2)?2x1x2?b?2c；
x1?x2?(x1?x2)22222?2x1?x2?2x1x2?22b2?4c；
x2x13?x1x23?x2?x1x1x222?b?2cc．
x1?x2?(x1?x2)(x1?x1x2?x2)
xy??42?162．指数方程组?的解[ A ]
xy??23?622(A)只有一组 (C)有无穷多组
(B)只有两组 (D)不存在
xy??42?16分析：在方程组?中每个方程的两端取对数，得
xy??23?6?xln4?yln2?ln16, ?xln2?yln3?ln6,?由于x与y的系数不成比例，所以此方程组只有一组解． 四、不等式
已知集合A?{xx?2?3}，集合B?{xx?(1?a)x?a?0}，若B?A，求a得取值范围．
2分析：x1,2?a?1?(1?a)?4a22?a?1?1?a2．
当a??1时，B?{xa?x??1}；当a??1时，B?{x?1?x?a}． 所以当a??1时，不会有B?A；当a??1时，若B?A，则a?5． 五、数列
1．设{an}是一等差数列，且a2?a3?a10?a11?64，求a6?a7和S12．
分析：由于a6?a7?a3?a10?a2?a11，所以
11
a6?a7?a2?a3?a10?a112?32；
S12?a1?a2???a11?a12?6(a6?a7)?192．
2．设{an}是一等比数列，且a3?12,a5?48，求a1,a10和a2a6．
分析：设数列{an}的公比为q，则
a5a3?q2?4，所以
a1?a3q2?124?3；
a10?a1q9?3?29?1536 或 a10?a1q9?3?(?2)9??1536；
a2a6?a3a5?12?48?576．
六、排列、组合、二项式定理
1．5个男生和2个女生拍成一排照相． （1）共有多少种排法？（P7）
（2）男生甲必须站在一端，且两女生必须相邻，有多少种排法？（P2(P5P2)） 2．100件产品中，只有3件次品，从中任取3件， （1）恰有一件次品的取法有多少种？C3C97 （2）至少有一件次品的取法有多少种？ C100（3）至多有两件次品的取法有多少种？C1003．求(1?233122527?C97?C3
33
9x)展开式中所有无理项系数之和．
分析：无理项指的是x的指数是非整数的项，根据二项式定理可知要求的和为
S?2C9?2C9?2C9?2C9?2C9．
七、古典概率问题
1．在100件产品中，只有5件次品．从中任取两件， （1）两件都是合格品的概率是多少？
133557799C952C10022
（2）两件都是次品的概率是多少？
C52C100
（3）一件是合格品，一件是次品的概率是多少？
C5C952C10011
2．甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率分别是0.6和0.5． （1）两人都投中的概率是多少？0.6?0.5
12
（2）恰有一人投中的概率是多少？0.6?0.5?0.4?0.5 （3）至少有一人投中的概率是多少？1?0.4?0.5
3．将10个球等可能地放到15个盒子中去，求下列事件的概率：
10! （1）某指定的10个盒子中各有1个球； 1510
C1015?10!（2）正好有10个盒子中各有1个球． 1510
[样题与真题] 一、基本概念
1．求阶乘不超过200的最大整数[ ] (A)3
(B)4
(C)5
(D)6
2．（2004）实数a,b,c在数轴上的位置如下图表示，
b a c O
图中O为原点，则代数式a?b?b?a?a?c?c?（ A ）． A．?3a?2c
B．?a?ab?2c
C．a?2b
D．3a
分析：因为b?a?0?c，所以
a?b?b?a?a?c?c??(a?b)?(a?b)?(c?a)?c??3a?2c．
3．（2004）argz表示z的幅角，今又??arg(2?i),??arg(?1?2i)，则sin(???)?（ D ）．A．?45 B．?35 C．
45 D．
35
分
析
：
由
于
sin??15,cos??25,sin??25,cos???15sin(???)?sin?cos??cos?sin??35．
注：排除法。 4．（2005）复数z?(1?i)2的模z?( )。
13
所 ，以
A.4 B.2
2 C.2 D. 2 分析：因为1?i?2，所以(1?i)2?1?i2?2，即正确选项为C．
5。（2006）复数z?1i的共轭复数z是（ A ）.
A.i B. ?i C. 1 D.?1 分析：由于z?1i??i，所以z?i。
二、函数运算 1．设函数f(x)?xx?1，x?0,x?1，则f(1f(x))?[ A ]
(A)1?x
(B)1?1xx (C)x?1 (D)x?1
1x?1分析：f(1f(x))?f(x)1?xx?1?1?x，x?0,x?1． f(x)?1x?1三、乘方运算
1．在连乘式(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)展开式中，x4前面的系数为[ C ] (A)13
(B)14
(C)15
(D)16
分析：
(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)?x5?(1?2?3?4?5)x4???x5?15x4??
2．（2003）已知实数x和y满足条件(x?y)99??1和(x?y)100?1，则x101?y101的值是 ．
A．?1．*
B．0． C．1．
D．2．
根据条件，得
?x?y??1,??x?y???x?y?1 或 1,? ?x?y??1,解得 ?x?0,x??1,??y??1 或 ???y?0,
3．（2005）设
p为正数，则x2?px?99?( )。 A. （x?9）(x?11) B. （x?9）(x?11) C.
（x?9）(x?11) D. （x?9）(x?11)
分析：选项验证法。由于(x?9)(x?11)?x2?20x?99，(x?9)(x?11)?x2?2x?99(x?9)(x?11)?x2?2x?99，(x?9)(x?11)?x2?20x?99，根据题意便知正确选项为C．
14
，
4．（2005）已知x ?y?5且z?y?10，则x?y?z?xy?yz?zx?( )。222A.50 B.75 C.100 D.105 分
析
2：
2由于x?y?5,z?y?1012[(x?y)2，
2所以z?x?5，从而
x2?y?z?xy?yz?zx??(z?y)2?(z?x)]?75，故正确选项为B．
四、代数方程、一元二次函数
1．设0?x?3，则函数y?(x?2)?2的最大值为[ C ] (A)?2
y2(B)?1 (C)2 (D)3
1-0.50.511.522.5-1分析：
-2 如图：最大值只可能在端点取到．
22．（2003）函数y?ax?bx?c(a?0)在[0,??)上单调增的充要条件是 ．
2A．a?0，且b?0． C．a?0，且b?0．*
B．a?0，且b?0． D．a?0，且b?0．
分析：根据题意，抛物线y?ax且b?0．
?bx?c(a?0)的开口朝上、对称轴在y轴左侧，故a?0,?b2a?0，所以a?0，
3．（2004）已知ab?1，且满足2aA．3a?2b?0
2． ?2008a?3?0和3b?2008b?2?0，则（ B ）
C．3a?2b?0
D．2a?3b?0
2B．2a?3b?0
分析：由于a??2008?200842?24,b??2008?200862?24，且ab?1，所以
当a??2008?200842?24时，,b??2008?200862?24，
当a??2008?200842?24时，,b??2008?200862?24，
从而有2a?3b?0． 或根据4a22?9b?2008(2a?3b)?0，也可以推出有2a?3b?0．
4．（2006）方程x2?2006x?2007，所有实数根的和等于（ C ）。
A.2006 B.4 C.0 D.?2006 分析：
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GCT数学基础复习资料（很全的）
