高中数学-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
?x＋y≥2，
1．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域?x≤1，
?y≤2
上的一个动点，则OA·OM的取值范围是________．
→
→
解析
?x＋y≥2，
OA·OM＝(－1,1)·(x，y)＝y－x，画出线性约束条件?x≤1，
?y≤2
→
→
→
→
表示的平面区域，如图所示．可以看出当z＝y－x过点D(1,1)时有最小值0，过点C(0,2)时有最大值2，则OA·OM的取值范围是[0,2]．
答案 [0,2]
?y≤－x＋2，
2．(·泰安模拟)不等式组?y≤x－1，
?y≥0
?y＝－x＋2，?
?y＝x－1，
所表示的平面区域的面积为_____．
解析 作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由
1111
得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝.
2224
1
答案
1 4
y≤x，??1
3．(·杭州模拟)在约束条件?y≥x，
2??x＋y≤1为________．
1
下，目标函数z＝x＋y的最大值
2
1
解析 由z＝x＋y，得y＝－2x＋2z.作出可行域如图阴影部分，平移直线y2＝－2x＋2z，当直线经过点C时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距最大，此时z最大．
?y＝1x，
2由?
?x＋y＝1，
5. 65
答案
6
1211?21?
，?，解得C点坐标为?代入z＝x＋y，得z＝＋×＝
2323?33?
4．(·陕西卷改编)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则
2
2x－y的最小值为________．
解析 如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－2,2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－2)－2＝－6.
答案 －6
?2y－x≤4，
5．(·四川卷改编)若变量x，y满足约束条件?x≥0，
?y≥0，
的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是________．
x＋y≤8，
且z＝5y－x解析 画出可行域，如图所示．由图可知，当目标函数过A点时有最大值；?x＋y＝8，
过B点时有最小值．联立得?
?2y－x＝4
?x＝4，??
?y＝4，
故A(4,4)；对x＋y＝8，令y＝0，则x＝8，故B(8,0)，所以a＝5×4－4＝16，b＝5×0－8＝－8，则a－b＝16－(－8)＝24.
答案 24
3
?x－y≥－1，
6．(·安徽卷)若非负变量x，y满足约束条件?
?x＋2y≤4，为________．
则x＋y的最大值
解析 根据题目中的约束条件画出可行域，注意到x，y非负，得可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．作直线y＝－x，并向上平移，当直线过点
A(4,0)时，x＋y取得最大值，最大值为4. 答案 4
?2x＋3y－6≤0，
7．(·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组?x＋y－2≥0，
?y≥0
表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．
所
解析 如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线x＋y－2＝0的垂线段长是|OM|的最小值，
∴|OM|min＝答案
2
|－2|
＝2. 12＋12
4
?x－y＋5≥0，
8．(·淮安质检)若不等式组?y≥a，
?0≤x≤2
则a的取值范围是________．
表示的平面区域是一个三角形，
解析 画出可行域，知当直线y＝a在x－y＋5＝0与y轴的交点(0,5)和x－
y＋5＝0与x＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a<7. 答案 [5,7) 二、解答题
?x－y＋5≥0，
9．(·合肥模拟)画出不等式组?x＋y≥0，
?x≤3
列问题：
(1)指出x，y的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？
表示的平面区域，并回答下
解 (1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，
x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．
?x－y＋5≥0，
所以，不等式组?x＋y≥0，
?x≤3
表示的平面区域如图所示．
?5?
结合图中可行域得x∈?－，3?，y∈[－3,8]．
?2?
5
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