解答
一、参考解答：
1．以li表示第i个单摆的摆长，由条件（b）可知每个摆的周期必须是40s的整数分之一，即
Ti?2πli40 （Ni为正整数） （1） ?gNi
[(1)式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.]由(1)可得，各单摆的摆长
li?400gπ2Ni2 （2）
依题意，0.450m?li?1.000m，由此可得
2020g （3） g?Ni?ππ0.45即
20?Ni?29 （4）
因此，第i个摆的摆长为
li?400gπ2(19?i)2 (i?1,2,3 ,10) （5）
i 1 2 4 5 6 7 8 9 10 li/m 0.990.900.820.750.690.630.580.540.500.473 1 1 1 0 5 8 5 7 2
2．20s
评分标准：本题15分．
第1小问11分．（2）式4分，（4）式4分，10个摆长共3分．
第2小问4分．
二、参考解答：
设该恒星中心到恒星－行星系统质心的距离为d，根据题意有
d?L??2 （1）
将有关数据代入（1）式，得d?5?10?3AU．又根据质心的定义有
r?d?Mdm （2）
式中r为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律有
Mm?2π?G2?Md??r?T?2 （3）
由（2）、（3）两式得
m?1?Mm?24π2d3?GT2 （4）
行星系统质心的距离，从而把(2)
Mm[若考生用r表示行星到恒星式写为r?Mdm，把(3)式写为G?r?d?2?2π??Md???T?2，则同样可得到
(4)式，这也是正确的.] 利用（1）式，可得
m?1?Mm?2?L????3π22GT2 （5）
（5）式就是行星质量m所满足的方程． 可以把(5)试改写成下面的形式
?mM?32?1?mM??L????3π222GMT （6）
因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得
(1AU)3GMS?(1y)24π2 （7）
注意到M?MS，由（6）和（7）式并代入有关数据得
?mMS?32?1?mMS??8.6?10?10 (8)
由（8）式可知
m??1 MS由近似计算可得
m?1?10?3MS （9）
由于mM小于1/1000，可近似使用开普勒第三定律，即
r3(1AU)3?T2(1y)2 （10）
代入有关数据得
r?5AU （11）
评分标准：本题20分．
（1）式2分，（2）式3分，（3）式4分，（5）式3分，（9）式4分，（11）式4分．
三、参考解答： 解法一
一倾角为?的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为R的圆柱面，圆柱面的轴线与直角
h u图1
m v? ? 三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环．根据题意有
tan??πR1? （1） 2πR2可得
sin??5，cos??25 （2） 55设在所考察的时刻，螺旋环绕其转轴的角速度为?，则环
上每一质量为?mi的小质元绕转轴转动线速度的大小都相同，用u表示，
u??R （3）
该小质元对转轴的角动量
?Li??miuR??miR2?
整个螺旋环对转轴的角动量
L???Li???miR2??mR2? （4）
小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成．在螺旋环的角速度为?时，设小球相对螺旋环的速度为v?，则小球在水平面内作圆周运动的速度为
v?v?cos???R （5）
沿竖直方向的速度
v??v?sin? （6）
对由小球和螺旋环组成的系绕，外力对转轴的力矩为0，系统对转轴的角动量守恒，故有
0?mvR?L （7）
由（4）、（5）、（7）三式得
v?cos???R=?R （8）
在小球沿螺旋环运动的过程中，系统的机械能守恒，有
mgh?112mv2?v????miu222 （9）
??由（3）、（5）、（6）、（9）四式得
第届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案
