弹簧类问题解题关键——分析弹簧的形变及变化

弹簧类问题解题关键——分析弹簧的形变及变化

摘要：弹簧类问题是高中物理常见的一类题型，许多学生解决这类问题感到困难。本文就弹簧类问题解题的关键做进一步的总结和归纳，以期能对学生和教师有一定的帮助。

关键词：弹簧；高中物理；解题

作者简介：袁启林，任教于江苏省苏州新区第一中学，中学物理高级教师，多次担任高三物理教学，具有丰富的教学经验，对学法和教法有一定的研究。

弹簧与物体相连组成的系统运动问题(称为弹簧类问题)是高中物理中常见的一类题型，由于弹簧在伸缩过程中涉及力和加速度、功和能、冲量和动量等多个物理概念和规律，而且这类问题的过程隐蔽性很强，解决这类问题要求有较强的分析综合能力，所以弹簧类问题也就成为高考中的重、难、热点。从力的角度看，弹簧上的弹力与形变量有关；从能量的角度看，弹簧是个储能元件，储存的弹性势能也与形变量有关。因此，分析弹簧的形变及变化也就成为解决弹簧类问题的关键。

例1：如图1所示，将金属块用压缩轻弹簧卡在一个矩形箱中，在箱的上顶板和下底板上安有压力传感器，箱可以沿竖直轨道运动，当箱以a=2m/s2的加速度做竖直向上的匀减速直线运动时，上顶板的传感器显示的压力为6.0N，下底板的传感器显示的压力为10.0N，取g=10m/s2

(1)若上顶板的传感器的示数是下底板传感器示数的一半，试判断箱的运动情况。 (2)要使上顶板传感器的示数为零，箱沿竖直方向的运动可能是怎样的？

解析：(1)设金属块的质量为m，F下-F上-mg＝ma,将a=-2m/s2代入求出m=0.5kg。由于上顶板仍有压力，说明弹簧长度没变，弹簧的形变量不变，弹簧弹力仍为10N，此时上顶板受压力为5N，则F′下-F′上-mg=ma1,求出a1=0,故箱静止或沿竖直方向匀速运动。

(2)若上顶板恰无压力，则F′′下-mg=ma2,解得a2=10m/s2，因此只要满足a≥10m/s2且方向向上即可使上顶板传感器示数为零。

点评：这道题粗看起来无从下手，因为感觉弹簧的弹力不能确定。若能分析出上板仍有压力时(包括压力恰为零时)，物体与上板就要接触，弹簧的长度就不变，形变量也就不变，弹簧的弹力仍为10N，就可以使问题迎刃而解。

例2：如图2所示，质量为m的质点与三根相同的螺旋形、轻弹簧相联，静止于竖直平面内，相邻弹簧间的夹角120°。已知弹簧a、b对质点的作用力均为F，则弹簧C对质点的作用力可能为 （ ）

A、F B、F＋mg C、F-mg D、mg-F

解析：由于两弹簧间的夹角均为120?，则弹簧a、b对质点作用力的合力大小仍为F。又由于弹簧a、b对质点的弹力可能是拉力，也可能是压力，同时，F与mg的大小关系不确定，故可出现BCD三种可能性。

点评：弹簧和绳不一样，它可以出现拉伸形变，也可以出现压缩形变，所以弹簧的弹力可能是拉力也可能是压力，这类问题往往出现多解。

例3：如图3所示，一质量为m的物体系于长度分别为l1、l2的弹簧和细线上，l1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l2水平拉直，物体处于平衡状态．现将l2细线剪断，求剪断瞬时物体的加速度．

解析：设细线剪断前l1上拉力为T1，l2上拉力为T2，重力为mg，物体在三力作用下保持平衡T1cosθ＝mg， T1sinθ＝T2，T2＝mgtanθ。剪断线的瞬间，T2突然消失，物体受重力和弹簧的拉力作用，由于剪断的瞬间，物体的位置无明显变化，所以弹簧的形变量也无明显变化，弹簧的弹力不变，物体所受重力和弹簧弹力的合力与T2等值反向，物体即在T2反方向获得加速度．因为mg tanθ＝ma，所以加速度a＝g tanθ，方向在T2反方向．

点评：弹簧弹力与弹簧的形变量有关，通常弹簧的形变很明显，当弹簧两端与物体相连时，其长度变化不能瞬间完成，因此弹簧的弹力就不能瞬间发生突变。与弹簧相比较，轻绳

和轻杆的形变并不明显，它们的弹力可以突变。

例4：如图4所示，两物体重力分别为G1、G2，两弹簧劲度系数分别为k1、k2，弹簧两端与物体和地面相连。用竖直向上的力缓慢向上拉G2，最后平衡时拉力F=G1+2G2，求该过程系统重力势能的增量。

解析：关键是搞清两个物体高度的增量Δh1和Δh2跟初、末状态两根弹簧的形变量x1、x2、x1/、x2/间的关系。

无拉力F时 x1=(G1+G2)/k1， x2= G2/k2，(x1、x2为压缩量) 加拉力F时 x1/=G2/k1， x2/= (G1+G2) /k2，( x1/、x2/为伸长量) 而Δh1= x1+ x1/，Δh2=( x1/+ x2/)+( x1+ x2) 系统重力势能的增量ΔEp= G1?Δh1+G2?Δh2 整理后可得：

点评：在弹性限度内，弹簧的弹力满足胡克定律，其中x为弹簧的形变量，物体与弹簧相连时，确定了弹簧的形变量x也就可以确定物体的位置，从而可以确定物体发生的位移或高度的增量，所以弹簧类问题还经常与运动学知识结合起来编成习题。

例5：如图5所示，质量为的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，物体A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。

解析：开始时，A、B 静止，设弹簧压缩量为x1，有kx1=m1g

挂C并释放后，C向下运动，A 向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有kx2=m2g

B不再上升，表示此时A 和C的速度为零，C已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为ΔE＝m3g(x1+x2)－m1g(x1+x2)

C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得 (m3+m1)v2+m1v2=(m3+m1)g(x1+x2)－m1g(x1+x2)－ΔE 解得(m3+2m1)v2=m1g(x1+x2) ， 则v=

点评：弹簧伸长或压缩时会储存一定的弹性势能，高中阶段并不要求利用公式定量计算弹性势能，但弹性势能的大小与形变量有关且在相等形变量时具有的弹性势能是相等的，可利用这一特点结合机械能守恒定律解决问题。

例6：如图6所示，两相同物块静止在光滑水平面上，中间连着一根轻弹簧，现有一质量为m0的子弹以水平速度v0射进一物块中未穿出，在以后的作用过程中速度均与v0在同一直线上，物块质量均4m0，则由子弹、弹簧、两物块组成的系统在子弹射入物块1后 （ ） A．产生的内能为 B.物块2的最大速度为 C．系统的最大动能为 D.最大弹性势能为

解析：子弹射入物块的过程时间很短，在这短暂的过程中，物块1发生的位移很小，故可以认为弹簧没有发生形变，子弹和物块1组成的系统动量守恒，由动量守恒定律可得子弹和物块1获得的共同速度为。子弹射入木块过程由于摩擦而产生内能，产生的内能等于子弹与物块1系统损失的动能，，故A正确；物块1获得速度后向左运动压缩弹簧，使物块1、2间发生相互作用，但由子弹、弹簧、两物块组成的系统合外力为零，故此系统动量守恒，且系统的机械能也守恒。当物块1和物块2的速度相等时，弹簧的压缩量最大，弹簧的弹性势能达到最大，由动量守恒和机械能守恒可得弹簧的最大弹性势能为，故D正确；弹簧处于压缩阶段，物块2就一直被加速度，所以当弹簧恢复到原长时，物块2的速度达最大，由动量守恒和机械能守恒可得物块2的最大速度为，故B错；由于子弹射入物块1过程中有机械能损失，所以系统的最大动能为开始时子弹的动能，C正确。

点评：本题因过程比较复杂而难住不少学生。解题时，应充分分析各阶段弹簧的形变及变化情况，把弹簧的弹力弄清楚，再结合运动和力的关系分析物体的运动情况，从而确定物体特殊运动状态所对应的条件。

通过以上例题可以看出，解决弹簧类问题，只要从分析弹簧的形变入手，确定弹簧的形变及变化情况，再结合相关的物理规律就可以有效的解决。 作者单位：江苏省苏州新区第一中学 邮政编码：215011

Skills for Solving Spring-related Problems Yuan Qilin

Abstract: Spring-related problems are common questions in senior high school physics. Many

students think they are difficult. This paper summarizes the key and skills for solving spring-related problems, helpful to students and teachers.

Key words: spring; senior high school physics; solving problems