极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移）
例1已知函数f?x??2lnx?x2?x，若正实数x1，x2满足f?x1?+f?x2?=4， 求证:x1?x2?2。
证明：注意到f?1?=2，f?x1?+f?x2?=2f?1?
f?x1?+f?x2?=2f?1?
2f??x?=+2x?1?0
x2f???x?=?2?2，f???1?=0，则（1,2）是f?x?图像的拐点，若拐点（1,2）也是f?x?的
x对称中心，则有x1?x2=2，证明x1?x2?2则说明拐点发生了偏移，作图如下
想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设0?x1?1?x2，要证
x1?x2?2?x2?2?x1?1 ?f?x2??f?2?x1??4?f?x1??f?2?x1?
?4?f?x1??f?2?x1?F?x??f?x??f?2?x?，x??0,1?，则
F??x??f??x??f??2?x??2??2? ???2x?1????2?2?x??1??x??2?x? 1
??1?4?1?x???1?x?2?x????0，
??得F?x?在?0,1?上单增，有F?x??F?1??2??1??4，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、 极值点偏移（f??x0??0）
二次函数f?x1??f?x2??x1?x2?2x0 2、拐点偏移f???x0??0
??f?x1??f?x2??x2?2x0?x1?x1?x2?2x0f?x1??f?x2??2f?x0??x1?x2?2x0
f?x1??f?x2??2f?x0??x2?2x0?x1?x1?x2?2x0极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路）
例1（2010天津）
已知函数f?x??xe．
?x（1）求函数f?x?的单调区间和极值；
（2）已知函数g?x?的图像与f?x?的图像关于直线x?1对称，证明：当x?1时，
2
f?x??g?x?；
（3）如果x1?x2，且f?x1??f?x2?，证明：
x1?x2?2．
点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观展示如下：
?x例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数f?x??xe，已知f?x1??f?x2?，x1?x2，
证明x1?x2?2．
再次审视解题过程，发现以下三个关键点： （1）x1，x2的范围?0?x1?1?x2?； （2）不等式f?x??f?2?x??x?1?；
3
（3）将x2代入（2）中不等式，结合f?x?的单调性获证结论． 把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题．
例2（2016新课标Ⅰ卷）已知函数f?x???x?2?ex?a?x?1?有两个零点．
2（1）求a的取值范围；
（2）设x1，x2是f?x?的两个零点，证明：x1?x2?2． 解：（1）?0,???，过程略；
（2）由（1）知f?x?在???,1?上]，在?1,???上Z，由f?x1??f?x2??0，可设
x1?1?x2．
构造辅助函数F?x??f?x??f?2?x?
??x?1??ex?2a???1?x??e2?x?2a? ??x?1??ex?e2?x?e?e当x?1时，x?1?0，
xF??x??f??x??f??2?x?2?x?0，则F??x??0，得F?x?在???,1?上Z，又F?1??0，
故F?x??0?x?1?，即f?x??f?2?x??x?1?．
将x1代入上述不等式中得f?x1??f?x2??f?2?x1?，又x2?1，2?x1?1，f?x?在
?1,???上Z，故x1?2?x1，x1?x2?2．
通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解． 但极值点偏移问题的结论不一定总是x1?x2????2x0，也可以是x1x2????x0，借鉴前面
2的解题经验，我们就可给出类似的过程．
例3 已知函数f?x??xlnx的图像与直线y?m交于不同的两点A?x1,y1?，B?x2,y2?，求证：x1x2?1． 2e??1?e??1?e??证明：（i）f??x??lnx?1，得f?x?在?0,?上]，在?,???上Z；当0?x?1时，；f?x??0；f?1??0；当x?1时，f?x??0；当x?0?时，f?x??0（洛必达法则）
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当x???时，f?x????，于是f?x?的图像如下，得0?x1?1?x2?1． e小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步：
step1：求导，获得f?x?的单调性，极值情况，作出f?x?的图像，由f?x1??f?x2?得x1，
x2的取值范围（数形结合）；
step2：构造辅助函数（对结论x1?x2????2x0，构造F?x??f?x??f?2x0?x?；对结论x1x2????x20，构造
2?x0?F?x??f?x??f??），求导，限定范围（x1或x2的范围），判定
?x?符号，获得不等式；
step3：代入x1（或x2），利用f?x1??f?x2?及f?x?的单调性证明最终结论．
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(完整版)极值点偏移问题专题
