微专题20
例题导引 例题
答案： (1)an＝2n－1，bn＝n； (2)①Tn＝2n＋1－n－2；
（Tk＋bk＋2）bk（k＋1）（k＋2）
＝
（2k＋1－k－2＋k＋2）k（k＋1）（k＋2）
＝
k·2k＋1
（k＋1）（k＋2）
＝2k＋2k＋2
②因为2k＋1
－， k＋1
2n＋22n＋12n＋223222423
所以，? ＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－2.结论得
3243（k＋1）（k＋2）n＋2n＋1n＋2k＝1
n
（Tk＋bk＋2）bk
证．.
变式联想
变式 1
n2＋3n
答案： (1)Bn＝；(2)[3，＋∞)．
2
变式 2
an1
答案： (1)证明：由an＋1＝＋n，得3nan＋1＝3n－1an＋1.又bn＝3n－1an，所以bn
33
＋1＝bn＋1.又
b1＝a1＝1，
所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列； n3＋2n2
(2)Sn＝.
2
串讲激活 串讲1
答案： (1)an＝2n.
n＋1
(2)由于an＝2n，bn＝
n＋1
，
（n＋2）2a2n
则bn＝
4（n＋2）2n2
11?1－?
＝?n2.
（n＋2）2?16??1111111111
所以Tn＝1－2＋2－2＋2－2＋…＋－＋－ 2
1632435（n－1）2（n＋1）2n（n＋2）2111111?5
1＋2?＝. ＝1＋2－－<2?64162（n＋1）2（n＋2）216?串讲 2
ana2n
解析： 证明：因为1＝a1≤a2≤…≤an≤…，故an＞0，0＜≤1，于是0＜2≤1.
an＋1an＋1
?1－an?1?1＋an??1－an?1?1＋an??1－1?an
所以bn＝?a2?·＝?a??a?·＝?a??ana?·≤
n＋1?an＋1n＋1??n＋1?an＋1n＋1??n＋1?an＋1???
11??11??1－1??1－1??1－1??2?an.故Sn＝b1＋b2＋…＋bn≤2?a－a?＋2?a－a?＋…＋2?an＝2??＝an＋1?an＋1?1223?????a1an＋1?
?1－1?2?a?＜2.
n＋1??
新题在线 例题
n
答案： (1)an＝n，bn＝n；
2
11(2)－. 2（n＋1）2n＋1
2
2024版《九章方略》二轮微专题20 数列中常见的求和问题
