解：此题中，a是固定的， T成了“自变量”，
?(?T??S)?(?T??S)a??Ta??Sa???(T)???(S) （T,S?B(X?X)) 可见?:B(X?X)?X是线性算子。由
||?(T)||?||Ta||?||T||||a|| (?T?B(X?X))
得 ||?||?||a||； ???B(X?X)?X。 取 T?I，得 ||a||?||Ia||?||?(I)||?||?||||I||?||?||
||?||?||a||。 ? ||a||?||?||； ?例6． 设X,Y是Banach空间，T?B(X?Y)是一个单射，存在
{xn}?X，使得||Txn||?1||xn||(?n?N)，证明R(T)在Y中不是闭的。 n 证： 用反证法。若R(T)在Y中闭，则R(T)作为Y的子空间是一个
Banach空间，于是T:X?R(T)是一个线性等距同构（T是单射，
，由逆算子定理知，T?1?B(R(T)?X)，这与以下事实x1?x2,Tx1?Tx2）相矛盾。
||T?1(Txn)||?||xn||?n||Txn||.
例7．设X是l.n.s, 设{xk}?X，?f?X，?|f(xk)|??，证明
*k?1?
?|f(xk?1?k)|?M||f||。
证：定义算子T:X*?l?(X*,l?均为Banach空间），Tf?(f(xk))。 若在X*中fn?f，在l?中Tfn?a?(ak)，则必有
fn(xk)?f(xk)=ak(n??,?k?N)?TF?a。于是由闭图像定理知
T?B(X*,l?)，即得证。?||T||?M，故?f?X*，
||Tf||?M||f||. 即
?|f(xk?1?k)|?M||f||。
Y是l.n.s,，sup|f(Tnx)|?? 例8．设X是Banach空间，Tn?B(X?Y)，
n（?x?X,f?Y*） ，证明sup||Tn||???。
n证： ?x?X，由sup|f(Tnx)|??，则?sup||Tnx||???。
nn?1（事实上，?f?Y*，|f(Tn(x)|是有界的，?Cf?0，使|f(Tnx)|?Cf（Cf与f有关，而与n无关），作映射?:Tx?(Tx)**?Y**， 然后再对{Tn}应用共鸣定理可得 sup||Tn||???。
n例9． 设f:X?R?是一非零线性泛函，证明： （1）f有界?N(f)是闭子空间； （2）f无界?N(f)?X。 证：?f?0, ?N(f)?X。 （1）
若f有界，则f连续，因而N(f)?f?1(0)是闭集（设
cn?N(f),xn?x0f(x0)?f(ln??，
n??则
mxn)?lf(xn)?il0?0i，?x0?mi(f). mN（2）
反之，若f无界，则?{xn}?X，使|f(xn)|?n||xn||。
今证N(f)?X（这会推出N(f)非闭，因而问题得证）。
?x?X，有 yn?x?f(x)xn?N(f) f(xn)f(x)f(xn)?0f(xn)|（
||yn?x||?f(yn)?f(x)?），
|f(x)|xn|||f|(x)||??0，
|f(xn)n这表明x?N(f)，故N(f)?X。
泛函分析中的定理
