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泛函分析中的定理

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第四章 习题课

基本内容

1.线性有界泛函

f:D?X??满足f(?x??y)??f(x)??f(y),线性. 若?x?D,|f(x)|?M||x||.——称f有界. 2.线性有界泛函的范数 ||f||?supx??|f(x)|. ||x||||x||?1 ||f||?sup|f(x)|?sup|f(x)|.

||x||?1共轭空间(Banach空间)(Rn)*?Rn,(lp)*?lq,(Lp[a,b])*?Lq,H*?H. 基本定理:

①延括定理:G?X是线性子空间,f:G?X??是线性有界泛函,则?F?X*,使(ⅰ)当x?G时,F(x)?f(x); (ⅱ)||F||X?||f||G. ②两个推论:

||f||?1, (Ⅰ)(Hahn—Banach定理)设Xl.n.s,则?f?X*,?x0?X,x0??,

f(x0)?||x0||.

(Ⅱ)设Xl.n.s,G?X是线性子空间,x0?X,d(x0,G)?0,则?f?X*,满足(ⅰ)?x?G,f(x)?0;

(ⅱ)f(x0)?d; (ⅲ)||f||?1. 3.线性有界算子

X1,X2——l.n.s,D?X1线性子空间,T:D?X2满足 T(?x??y)??T(x)??T(y).

4.线性有界算子,算子范数. 5.基本定理

引理:(开映射原理):若X1,X2是Banach空间,T?B(X1?X2),且

R(T)?X2,则T为开映射.

① 逆算子定理:设X1,X2都是Banach空间,T:X1?X2满射,可逆的线

性有界算子,则T的逆算子T?1是有界算子.

② 闭图像定理:设X1,X2都是Banach空间,T:D(T)?X1?X2是闭算子,

其中D(T)是X1的闭子空间,则T是线性有界算子.

③ 共鸣定理:设X1是Banach空间,X2是l.n.s.{Xi|i?A}是一族X1?X2的线性有界算子,则

{||Ti|||i?A}有界??x?X1,{||Tix|||i?A}有界. 6.强收敛与弱收敛

① l.n.s中的点列的强、弱收敛.

(ⅰ)若||xn?x||?0,称{xn}强收敛于x,记为xn?x; (ⅱ)若?f?X,|f(xn)?f(x)|?0,称xn?x(弱收敛). ② 有限维空间中,强弱收敛等价. ③ 弱收敛的判别(等价条件)

xn?x?(ⅰ){||Xn||}有界;(ⅱ)?M*?X*(稠密),使?f?M*,

***|f(xn)?f(x0)|?0. ④ 算子列的各种收敛性:

(ⅰ)一致收敛:||Tn?T||?0; (ⅱ)强收敛:||Tnx?Tx||?0;

(ⅲ)弱收敛:||f(Tnx)?f(Tx)||?0,?f?X2*,x?X1. 特别泛函列fn:

(ⅰ)强收敛:||fn?f||?0(对应一致收敛);

(ⅱ)弱*收敛:||fn(x)?f(x)||?0(对应算子列强收敛).

7.共轭算子

设X1,X2是同一数域?上的l.n.s.T?B(X1?X2), T*:X2*?X1*,如果对任何x?X1,f?X2*,都有

(T*f)(x)?f(Tx) 或 (x,T*f)?(Tx,f) 成立,就称T*是T的共轭算子(也称伴随算子).

共轭算子的范数:

定理(共轭算子的范数):设T?B(X1?X2),T*是T的共轭算子,则T*是

* T X1 X1* T

X2 X2*

X2*?X1*的线性有界算子,且有

||T*||?||T||.

定理(共轭算子的性质): (1)(aT)*?aT*; (2)(T2?T1)*?T1*?T2*; (3)(T1?T2)*?T1*?T2*;

(4)I:X1?X2,则I*:X1*?X2*. 8.自共轭算子

H是Hilbert空间,若?x,y?H,(Tx,y)?(x,Ty).T——自共轭算子. Th.(自共轭算子的充要条件):H是复的Hilbert空间,T为自共轭算子??x?H,

(Tx,x)为实数.

性质:(1)特征值为实数;

(2)不同特征值的特征向量正交.

投影算子:Px?x0.(x?x0?z,x0?M,z?M?).

举 例

例1.设X1,X2是l.n.s,T?(X1?X2),则T?B(X1?X2)?T应某个内部非空的有界集为有界集。

证:(?)设A?X1,A0??(A0是A的内部)

,r?0,令??sup||Tx||??, TA?X2有界,取O(a,r)?A(?A0??)

x?A?x?X1,x?0,有a?r||x||?1x?O(a,r),因此

||T(a?r||x||?1x)||??

可以推出 ||Tx||?||T(a?因此T有界。

(?)显然成立。

rx)?Ta||||x||/r?2?||x||/r ||x|| 例2.设T?B(A?Y),A是X的稠密子空间,Y完备,则?唯一的T?B(X?Y),使得TA?T,||T||?||T||。 证:?x?X,取{xn}?A,使xn?x(n??)。因

||Txm?Txn||?||T||||xm?xn||

Txn,记为Tx,这故 {Txn}是Y中的Cauchy列;由于Y完备,必存在limn????x(xn??A),?,x2,x2?,?},与{xn}的选取无关(事实上,若xn取{yn}?{x1,x1??Tx),这样就定义了y?x,则{Tyn}为Cauchy列,Tyn?Tx,则Txn一个算子T:X?Y,T显然是线性的,且TA?T。由

||Txn||?lim||T||||xn||?||T||||x|| ||Tx||?limn??n??故 ||T||?||T||,故T?B(X?Y)。 因 ?x?A,||Tx||?||Tx||?||T||||x||, 故||T||?||T||, 因此 ||T||?||T||。

若有某S?B(X?Y)亦满足SA?T,则?x?X,取{xn}?A,,使。 xn?x,则Sx?limTxn?Tx,因此S?T(唯一性得证)

n??例3.设X,Y?????l.n.s.,dimX??,Y?{0},则存在无界线性算子T:X?Y。

证: ?dimX??,?可取线性独立的可数集A?{xn}?X,可设

||xn||?1,取y?0,y?Y,定义算子T:Tx?ny

T,Ty??Tx???Tx???Y)。可以自然的扩张到SpanA(如y??x???x???SpanA

则X可以表示X?SpanAA?B,?x?B定义Tx?0,则

T是一线性算子,T?(X?Y),因 sup||Tx||?sup||Txn||?sup||ny||???

||x||?1nn故T是无界算子。

例4.设Tnx?(x1,x2,?,xn,0,0,?),?x?{xn}?l2。证明 Tn?B(l2?l2),求||Tn||。

证: Tn?B(l2?l2)显然。||Tnx||?||(x1,x2,?,xn,0,0,?)||?||x||,因此

||Tn||?1。

另一方面,设{ei}是l2的标准正交基,则||en||?1,Tnen?en,故

1?||en||=||Tnen||?||Tn||||en||?||Tn||, 故 ||Tn||?1,故||Tn||?1。

例5.给定a?X(l.n.s.),令?(T)?Ta(T?B(X?X)),证明

??B(B(X?X),求||?||。

泛函分析中的定理

第四章习题课基本内容1.线性有界泛函f:D?X??满足f(?x??y)??f(x)??f(y),线性.若?x?D,|f(x)|?M||x||.——称f有界.2.线性有界泛函的范数||f||?supx??|f(x)|.||x||||x||?1||f||?sup|f(x)|?sup|f(x)|.||x||?
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