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第一章 勾股定理
知识点一：勾股定理定义
画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，量AB的长；一个直角边为5和12的直角△ABC，量AB的长 发现3+4与5的关系，5+12和13的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b＝c） 1．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ；
⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。 知识点二：验证勾股定理
知识点三：勾股定理证明（等面积法）
例1。已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。 D求证：a＋b=c。 证明：
例2。已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。 求证：a＋b=c。 证明：
知识点四：勾股定理简单应用 在Rt△ABC中，∠C=90°
(1) 已知：a=6, b=8，求c (2) 已知：b=5，c=13，求a
知识点五：勾股定理逆定理
如果三角形的三边长为a,b,c，满足a?b?c，那么，这个三角形是直角三角形．
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利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c）
②计算c与a?b，并验证是否相等。 若c=a?b，则△ABC是直角三角形。
若c≠a?b，则△ABC不是直角三角形。
1.下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 C.a=6,b=8,c=10
22222222222B.a=7,b=24,c=24 D.a=3,b=4,c=5
2.三角形的三边长为(a?b)?c?2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形
3.已知x?6?y?8?(z?10)?0 ,则由此x,y,z为三边的三角形是 三角形. 知识点六：勾股数
（1）满足a?b?c的三个正整数，称为勾股数．
（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． （3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．
1.设a、b、c是直角三角形的三边,则a、b、c不可能的是（ ）.
A.3,5,4 B. 5,12,13 C.2,3,4 D.8,17,15 1. 若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比可以是（ ）
A.2∶3∶4 B.3∶4∶6 C.5∶12∶13
D.4∶6∶7
D AD'A' B' BC' C2222知识点七：确定最短路线
1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm, 有一只甲虫从A出发，沿表面爬到C?，最近距离是多少？
知识点八：逆定理判断垂直
1．在△ABC中，已知AB－BC＝CA，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．无法确定． 2．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是( )
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A B 2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程（? 取3）是 .
BCA．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对
知识点九：勾股定理应用题
A1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
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2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.
3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？
4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？
5米 3米
综合练习一
一、选择题
1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m+ n, m – n, 2mn(m,n均为正整数,m?n);④a,a?1,a?2.其中能组成直角三角形的三边长的是( )
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222 A.①②; B.①③; C.②③; D.③④
2已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A.25
B.14
C.7
D.7或25
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3.三角形的三边长为(a?b)?c?2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 4.△ABC的三边为a、b、c且(a+b)(a-b)=c，则( )
A.a边的对角是直角 B.b边的对角是直角 C.c边的对角是直角 D.是斜三角形
5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）
①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形 7.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
8.如图，∠C=∠B=90°，AB=5，BC=8，CD=11，则AD的长为 （ ）
A、10 B、11 C、12 D、13
9.如图、山坡AB的高BC=5m，水平距离AC=12m，若在山坡上每隔0.65m栽一棵茶树,则从上到下共 ( )
A、19棵 B、20棵 C、21棵 D、22棵
10.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，若c=2，则a+b+c的值是 （ ）
A、6 B、8 C、10 D、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）
Ａ、9，12，15 B、
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2253，1， C、0.2，0.3，0.4 D、40，41，9 4412.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A.25海里
B.30海里
C.35海里
D.40海里
二、填空题
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________
2.现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm． 3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ． 4.如图中字母所代表的正方形的面积：A= B= ．
40022522581AB5.在△ABC中，∠C＝90°，若 a＝5，b＝12，则 c＝ ．
6.△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD= ，S△ABC = 。 7.在Rt△ABC中，有一边是2，另一边是3，则第三边的平方是 。
8.在△ABC中，AC=17 cm，BC= 10 cm，AB=9 cm，这是一个_________三角形（按角分）。 9.已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为 。 三、简答题
1.判断正误，并指出为什么？ （1）△ABC的两边为3和4，求第三边
解：由于三角形的两边为3和4，所以它的第三边c为5。 （2）若已知△ABC为直角三角形，则第三边为5
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2.在△ABC中，BC=m2-n2，AC=2mn，AB=m2+n2(m＞n)。 求证：△ABC是直角三角形。
3.求斜边长17厘米，一条直角边长15厘米的直角三角形的面积．(画图求解)
4.已知一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口一个半小时相距多少千米？(画图求解)
5.如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？
家庭作业： 一、基础达标:
1. 下列说法正确的是（ ）
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9米12米6.如图，在四边形ABCD中，∠BAD =90?，∠DBC =90?，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD；
DACB2
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A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a＋b＝c； B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a＋b＝c； C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，?A?90?，则a＋b＝c； D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，?C?90?，则a＋b＝c．
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2. △ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（ ）
A．a?b?c B. a?b?c C. a?b?c D. a2?b2?c2
3．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
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最新北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)
