《质数与合数》练习题
1．对于素数p，q，方程x4﹣px3+q＝0有整数解，则p＝ 3 q＝ 2 【分析】根据式子特点判断出x＞0，然后分x为偶数和x为奇数两种情况讨论，通过试解，判断出方程无偶数解，进而求出素数p、q的值． 【解答】解：将方程x4﹣px3+q＝0移项，得 x4+q＝px3． 可见，x4≥0，则x4+q＞0， 所以px3＞0， 即x＞0，
本题也就是要求出使方程x4﹣px3+q＝0有正整数解的素数p、q； 且素数p必定是奇素数，否则是偶素数的话， 那么p＝2，
则方程成为：x4+q＝2x3， 即q＝2x3﹣x4＝x3×（2﹣x）＞0， 得出2﹣x＞0， 即x＜2， 则只能是x＝1，
代入方程：14+q＝2×13，
即1+q＝2，解得q＝1，不是素数，故p必定是奇素数． 分两种情形讨论：
情形一：当x为偶数时，设为x＝2n， 则有（2n）4+q＝p×（2n）3， 16n4+q＝p×8n3，
上式右端是偶数，则左端的q必须为偶数， 否则：左端奇偶相加得奇，不符．
而q作为素数，唯一的偶素数就是2，即q＝2， 则上式成为 16n4+2＝p×8n3， 两边同时除以2，得：8n4+1＝p×4n3， 显然，左端奇偶相加得奇，但右端为偶，矛盾． 所以方程无偶整数解；
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情形二：当x为奇数时，设为x＝2n﹣1，则有（2n﹣1）4+q＝p×（2n﹣1）3， 观察上式，右端为奇，则左端也必须为奇，而（2n﹣1）4是奇，所以得出q必须为偶，故素数q＝2，
上式成为：（2n﹣1）4+2＝p×（2n﹣1）3，
整理成：p（2n﹣1）3﹣（2n﹣1）^4＝（2n﹣1）3×[p﹣（2n﹣1）]＝1×2， 由于（2n﹣1）3为奇， 所以必有：（2n﹣1）3＝1， 解得：n＝1；
则：[p﹣（2n﹣1）]＝2， 解得：p＝3；
综上，对于素数p、q，方程x4﹣px3+q＝0有整数解，则p、q分别为3和2． 故答案为：p＝3，q＝2．
【点评】此题考查了素数的定义以及高次方程系数的判断，利用数的奇偶性进行探索，推出矛盾结论，逐步得到正确值．
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《质数与合数》练习题(11)
