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高数考研试题2
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
1???xcos,若x?0,f(x)??x若x?0,?0,?（1）设其导函数在x=0处连续，则?的取值围是??2.
【分析】 当x?0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导. 【详解】 当??1时，有
11???1??xcos?x??2sin,若x?0,f?(x)??xx若x?0,?0,?
limf?(x)?0?f?(0)??2显然当时，有x?0，即其导函数在x=0处连续.
【评注】 原题见《考研数学大串讲》P.21【例5】（此考题是例5的特殊情形）.
32y?x?3ax?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2?4a6 . （2）已知曲线
【分析】 曲线在切点的斜率为0，即y??0，由此可确定切点的坐标应满足的条件，
再根据在切点处纵坐标为零，即可找到b与a的关系.
【详解】 由题设，在切点处有
2222x?a. ?y?3x?3a?00 ，有
2又在此点y坐标为0，于是有
30?x0?3a2x0?b?0,
22222246b?x(3a?x)?a?4a?4a. 00故
【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线程. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P.36第一大题第（3）小题.
?a,若0?x?1,f(x)?g(x)???0,其他，而D表示全平面，则（3）设a>0，
I???f(x)g(y?x)dxdyD2= a .
【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当0?x?1,0?y?x?1时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域积分即可.
【详解】
I???f(x)g(y?x)dxdyD=0?x?1,0?y?x?12a??dxdy
0x0 =
【评注】 若被积函数只在某区域不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.
完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例8.16-17】 .
a2?dx?1x?1dy?a2?[(x?1)?x]dx?a2.1（4）设n维向量??(a,0,?,0,a),a?0；E为n阶单位矩阵，矩阵
T1TB?E???Ta A?E???， ，
其中A的逆矩阵为B，则a= -1 .
. 优质专业.
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TT2【分析】 这里??为n阶矩阵，而???2a为数，直接通过AB?E进行计算并注意利用乘法的结合律即可.
【详解】 由题设，有
1AB?(E???T)(E???T)a 11E???T???T???T???Taa = 11E???T???T??(?T?)?Taa = 1E???T???T?2a??Ta =
1E?(?1?2a?)??T?Ea =,
11?1?2a??0a?,a??1.22a?a?1?0a2于是有 ，即 ，解得 由于A<0 ,故a=-1.
【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P.305第2大题第（5）小题 .
（5）设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若Z?X?0.4，则Y与Z的相关系数为
0.9 . 【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为
Y,X?0.4)?E[(Y(X?0.4)]?E(Y)E(X?0.4) cov(Y,Z)?cov( =E(XY)?0.4E(Y)?E(Y)E(X)?0.4E(Y) =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y),
且DZ?DX.
cov(Y,Z)于是有 cov(Y,Z)=
cov(X,Y)DYDZ=DXDY
【评注】 注意以下运算公式：D(X?a)?DX，cov(X,Y?a)?cov(X,Y).
完全类似例题见《数学复习指南》P.475【例3.32】的【注】 .
（6）设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样
??XY?0.9.1n21Yn??Xini?1本，则当n??时，依概率收敛于 2 .
【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与差的随机变量
X1,X2,?,Xn，当差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：
p1n1nXi??EXi(n??).?ni?1 ni?1
222X,X,?,X12n【详解】 这里满足大数定律的条件，且
112122EXi?DXi?(EXi)=4?(2)?2，因此根据大数定律有
1n21n1EXi2?.Yn??Xi?2 ni?1 依概率收敛于ni?1 . 优质专业.
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【评注】 大数定律见《数学复习指南》P.484 .
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号）
（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数
(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.
(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】 由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有
g(x)?f(x)x
limg(x)?limx?0x?0f(x)f(x)?f(0)?lim?f?(0)x?0xx?0存在，故x=0为可去间断点.
x?1,x?0,??【评注1】 本题也可用反例排除，例如f(x)=x, 则此时g(x)=x?0,x?0,可排除
(A),(B),(C) 三项，故应选(D).
【评注2】 若f(x)在x?x0处连续，则本题事实上相当于考查此结论，详情可参见《考研数学大串讲》P.18的重要结论与公式.
x?x0limf(x)?A?f(x0)?0,f?(x0)?A.x?x0.
（2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是
(A) f(x0,y)在y?y0处的导数等于零. （B）f(x0,y)在y?y0处的导数大于零. (C) f(x0,y)在y?y0处的导数小于零. (D) f(x0,y)在y?y0处的导数不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.
【详解】 可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，根据取极值的必要条件知
fy?(x0,y0)?0，即f(x0,y)在y?y0处的导数等于零, 故应选(A).
f?(x,y)【评注1】 本题考查了偏导数的定义，f(x0,y)在y?y0处的导数即y00；而
f(x,y0)在x?x0处的导数即fx?(x0,y0).
【评注2】 本题也可用排除法分析，取f(x,y)?x?y，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有f(0,y)?y，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).
（3）设(A) 若(B) 若(C) 若
222pn?an?an2n，
qn??an?an2?，n?1,2,?，则下列命题正确的是
?an?1??条件收敛，则绝对收敛，则条件收敛，则
?pn?1?n与与与
?qn?1?n都收敛. 都收敛. 敛散性都不定.
?an?1?n?pn?1?n?qn?1?n?an?1n?pn?1n?qn?1n . 优质专业.
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?(D) 若n?1绝对收敛，则n?1与n?1敛散性都不定. [ B ] 【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若
?an?p?n?qn?n?an?1?n绝对收敛，即
?an?1?收敛，当然也有级数
?an?1?n?n收敛，再根据
pn?(B). 题.
an?an2，
qn?an?an2及收敛级数的运算性质知，n?1?p?n与
?qn?1都收敛，故应选
【评注】 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P.23第二大题第（3）小
?abb??A??bab????bba??，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有 （4）设三阶矩阵
(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b?0.
(C) a?b且a+2b=0. (D) a?b且a+2b?0. [ C ]
【分析】 A的伴随矩阵的秩为1, 说明A的秩为2，由此可确定a,b应满足的条件. 【详解】 根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有
abbbab?(a?2b)(a?b)2?0
bba，即有a?2b?0或a=b.
但当a=b时，显然秩(A)?2, 故必有 a?b且a+2b=0. 应选(C).
【评注】 n（n?2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：
?n,r(A)?n,?r(A*)??1,r(A)?n?1,?0,r(A)?n?1.?
完全类似例题见《数学复习指南》P.329【例3.31】. （5）设?1,?2,?,?s均为n维向量，下列结论不正确的是
(A) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0，
则?1,?2,?,?s线性无关.
(B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有(C) ?1,?2,?,?s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.
(D) ?1,?2,?,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ]
【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.
k1?1?k2?2???ks?s?0.
k1,k2,?,ks,都有
k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s必线性无关，因为若?1,?2,?,?s线性相关，
【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数
. 优质专业.
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则存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks,使得 k1?1?k2?2???ks?s?0，矛盾. 可见（A）成立.
(B): 若?1,?2,?,?s线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数
k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0.(B)不成立.
(C) ?1,?2,?,?s线性无关,则此向量组的秩为s；反过来，若向量组?1,?2,?,?s的秩为s，则?1,?2,?,?s线性无关，因此(C)成立.
(D) ?1,?2,?,?s线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.
综上所述，应选(B).
【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数
k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0成立，则?1,?2,?,?s线性相关. 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0，
则?1,?2,?,?s线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.
与本题完全类似例题见《数学复习指南》P.313【例3.4】.
（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件
(A) A1,A2,A3相互独立. (B) A2,A3,A4相互独立.
(C) A1,A2,A3两两独立. (D) A2,A3,A4两两独立. [ C ] 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.
【详解】 因为
1111P(A2)?P(A3)?P(A4)?2，2，2，4， 1111P(A1A2)?P(A1A3)?P(A2A3)?P(A2A4)?P(AAA)?01234，4，4，4且 ，
P(A1)?可见有
P(A1A2)?P(A1)P(A2)，P(A1A3)?P(A1)P(A3)，P(A2A3)?P(A2)P(A3)，
P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)，P(A2A4)?P(A2)P(A4).
故A1,A2,A3两两独立但不相互独立；A2,A3,A4不两两独立更不相互独立，应选(C).
【评注】 本题格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.
本题考查两两独立与相互独立的差异，其要点可参见《数学复习指南》P.401 .
三 、（本题满分8分） 设
f(x)?
1111??,x?[,1).?xsin?x?(1?x)2
. 优质专业.
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