所谓指标就是用来评价系统的参量.例如,在校学生规模、教学质量、师资结构、科研水平等,就可以作为评价高等院校综合水平的主要指标.一般说来,任—个指标都反映和刻画事物的—个侧面.
从指标值的特征看,指标可以分为定性指标和定量指标.定性指标是用定性的语言作为指标描述值,定量指标是用具体数据作为指标值.例如,旅游景区质量等级有5A、4A、3A、2A和1A之分,则旅游景区质量等级是定性指标;而景区年旅客接待量、门票收入等就是定量指标.
从指标值的变化对评价目的的影响来看,可以将指标分为以下四类: (1)极大型指标(又称为效益型指标)是指标值越大越好的指标; (2)极小型指标(又称为成本型指标)是指标值越小越好的指标;
(3)居中型指标是指标值既不是越大越好,也不是越小越好,而是适中为最好的指标; (4) 区间型指标是指标值取在某个区间为最好的指标.
例如,在评价企业的经济效益时,利润作为指标,其值越大,经济效益就越好,这就是效益型指标;而管理费用作为指标,其值越小,经济效益就越好,所以管理费用是成本型指标.再如建筑工程招标中,投标报价既不能太高又不能太低,其值的变化围一般是(?10%,?5%)×标的价,超过此围的都将被淘汰,因此投标报价为区间型指标.投标工期既不能太长又不能太短,就是居中型指标.
在实际中,不论按什么式对指标进行分类,不同类型的指标可以通过相应的数学法进行相互转换
8.2.4 评价指标的预处理法
一般情况下,在综合评价指标中,各指标值可能属于不同类型、不同单位或不同数量级,从而使得各指标之间存在着不可公度性,给综合评价带来了诸多不便.为了尽可能地反映实际情况,消除由于各项指标间的这些差别带来的影响,避免出现不合理的评价结果,就需要对评价指标进行一定的预处理,包括对指标的一致化处理和无量纲化处理.
1.指标的一致化处理
所谓一致化处理就是将评价指标的类型进行统一.一般来说,在评价指标体系中,可能会同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标,它们都具有不同的特点.如产量、利润、成绩等极大型指标是希望取值越大越好;而成本、费用、缺陷等极小型指标则是希望取值越小越好;对于室温度、空气湿度等居中型指标是既不期望取值太大,也不期望取值太小,而是居中为好.若指标体系中存在不同类型的指标,必须在综合评价之前将评价指标的类型做一致化处理.例如,将各类指标都转化为极大型指标,或极小型指标.一般的做法是将非极大型指标转化为极大型指标.但是,在不同的指标权重确定法和评价模型中,指标一致化处理也有差异.
(1) 极小型指标化为极大型指标
对极小型指标xj,将其转化为极大型指标时,只需对指标xj取倒数:
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x?j?或做平移变换:
1, xjx?j?Mj?xj,
其中 Mj?max{xij},即n个评价对象第j项指标值xij最大者.
1?i?n(2) 居中型指标化为极大型指标
对居中型指标xj,令 Mj?max{xij}, mj?min{xij},取
1?i?n1?i?nMj?mj?2(xj?mj),m?x?;jj?2?Mj?mjx?j??
?2(Mj?xj),Mj?mj?x?M.jj?Mj?mj2?就可以将xj转化为极大型指标.
(3) 区间型指标化为极大型指标
对区间型指标xj,xj是取值介于区间[aj,bj]时为最好,指标值离该区间越远就越差.令 Mj?max{xij}, mj?min{xij}, cj?max{aj?mj,Mj?bj},取
1?i?n1?i?n?aj?xj,xj?aj;?1?cj??x?j??1, aj?xj?bj;
?x?bj?1?j,xj?bj.cj??就可以将区间型指标xj转化为极大型指标.
类似地,通过适当的数学变换,也可以将极大型指标、居中型指标转化为极小型指
标.
2.指标的无量纲化处理
所谓无量纲化,也称为指标的规化,是通过数学变换来消除原始指标的单位及其数值数量级影响的过程.因此,就有指标的实际值和评价值之分.—般地,将指标无量纲化处理以后的值称为指标评价值.无量纲化过程就是将指标实际值转化为指标评价值的过程.
对于n个评价对象S1,S2,(1) 标准样本变换法 令
,Sn,每个评价对象有m个指标,其观测值分别为
,n;j?1,2,,m).
xij(i?1,2,— - 2 -
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*xij?xij?xjsj (1?i?n,1?j?m).
1n1n2*其中样本均值xj??xij,样本均差sj?,(x?x)x?ijjij称为标准观测值.
ni?1ni?1特点:样本均值为0,差为1;区间不确定,处理后各指标的最大值、最小值不相同;
*对于指标值恒定(sj?0)的情况不适用;对于要求指标评价值xij?0的评价法(如熵值法、
几加权平均法等)不适用.
(2) 线性比例变换法 对于极大型指标,令
x?对极小型指标,令
*ijxijmaxxij1?i?n*ij (maxxij?0, 1?i?n, 1?j?m).
1?i?nx?或
*xij?1?minxij1?i?nxij (1?i?n,1?j?m).
xijmaxxij1?i?n (maxxij?0, 1?i?n, 1?j?m).
1?i?n该法的优点是这些变换式是线性的,且变化前后的属性值成比例.但对任一指标来说,变换后的xij?1和xij?0不一定同时出现.
*特点:当xij?0时,xij?[0,1];计算简便,并保留了相对排序关系.
**(3) 向量归一化法 对于极大型指标,令
*xij?xij?xi?1n (1?i?n,1?j?m).
2ij对于极小型指标,令
*xij?1?xij?xi?1n (1?i?n,1?j?m).2ij
优点:当xij?0时,x?[0,1],即
*ij?(x)i?1n*2ij*?1.该法使0?xij?1,且变换前后
正逆向不变;缺点是它是非线性变换,变换后各指标的最大值和最小值不相同.
(4) 极差变换法
对于极大型指标,令
x?—
*ijxij?minxij1?i?nmaxxij?minxij1?i?n1?i?n (1?i?n, 1?j?m).
- 3 -
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对于极小型指标,令
x?*ijmaxxij?xij1?i?nmaxxij?minxij1?i?n1?i?n (1?i?m, 1?j?n).
**其优点为经过极差变换后,均有0?xij?1,且最优指标值xij?1,最劣指标值*xij?0.该法的缺点是变换前后的各指标值不成比例,对于指标值恒定(sj?0)的情况不
适用.
(5) 功效系数法 令
x?c?*ijxij?minxij1?i?nmaxxij?minxij1?i?n1?i?n?d (1?i?n,1?j?m).
其中c,d均为确定的常数.c表示“平移量”,表示指标实际基础值,d表示“旋转量”,即表示“放大”或“缩小”倍数,则xij?[c,c?d].
通常取c?60,d?40,即
*x?60?**ijxij?minxij1?i?nmaxxij?minxij1?i?n1?i?n?40 (1?i?n,1?j?m).
*则xij实际基础值为60,最大值为100,即xij?[60,100].
特点:该法可以看成更普遍意义下的一种极值处理法,取值围确定,最小值为c,最大值为c?d.
3.定性指标的定量化
在综合评价工作中,有些评价指标是定性指标,即只给出定性地描述,例如:质量很好、性能一般、可靠性高、态度恶劣等.对于这些指标,在进行综合评价时,必须先通过适当的式进行赋值,使其量化.一般来说,对于指标最优值可赋值10.0,对于指标最劣值可赋值为0.0.对极大型和极小型定性指标常按以下式赋值.
(1) 极大型定性指标量化法
对于极大型定性指标而言,如果指标能够分为很低、低、一般、高和很高等五个等级,则可以分别取量化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0,对应关系如图8-2所示.介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值.
图8-2 极大型定性指标量化法
(2) 极小型定性指标量化法 对于极很低 低 言,如果 分为很0 1.0 3.0 低和很低等—
一般 5.0 小型定性指标而指标能够 高、一般、7.0 9.0 10.0 高、五个等级,则可 高 很高 - 4 -
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以分别取量化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0,对应关系如图8-3所示.介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值.
很高 高 一般 低 很低
0 1.0 3.0 5.0 7.0 9.0 10.0
模糊综合评价法
在客观世界中,存在着多不确定性现象,这种不确定性有两大类:一类是随机性现象,即事物对象是明确的,由于人们对事物的因果律掌握不够,使得相应结果具有不可预知性,例如晴天、下雨、下雪,这是明确的,但出现规律不确定;另一类是模糊性现象,即某些事物或概念的边界不清楚,使得事物的差异之间存在着中间过渡过程或过渡结果,例如年轻与年老、高与矮、美与丑等,这种不确定性现象不是人们的认识达不到客观实际所造成的,而是事物的一种在结构的不确定属性,称为模糊性现象.
模糊数学就是用数学法研究和处理具有“模糊性”现象的一个数学分支.而模糊综合评价就是以模糊数学为基础,应用模糊关系合成的原理,将一些边界不清、不易定量的因素定量化,进行综合评价的一种法. .隶属度函数的确定法
隶属度的思想是模糊数学的基本思想,确定符合实际的隶属函数是应用模糊数学法建立数学模型的关键,然而这是至今尚未完全解决的问题.下面介绍几种常用的确定隶属函数的法.
⑴ 模糊统计法
模糊统计法是利用概率统计思想确定隶属度函数的一种客观法,是在模糊统计的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的.下面以确定青年人的隶属函数为例来介绍其主要过程.
① 以年龄为论域X,在论域X中取一固定样本点x0?27.
② 设A为论域X上随机变动的普通集合,A是青年人在X上以A为弹性边界的模糊集,对A的变动具有制约作用.其中x0?A,或x0?A,使得x0对A的隶属关系具有不确定性.然后进行模糊统计试验,若n次试验中覆盖x0的次数为mn,则称
**
*
mn为nx0对于A的隶属频率.由于当试验次数n不断增大时,隶属频率趋于某一确定的常数,
该常数就是x0属于A的隶属度,即
?A(x0)?limmn .n??n比如在论域X中取x0?27,选择若干合适人选,请他们写出各自认为青年人最适宜最恰当的年龄区间(从多少岁到多少岁),即将模糊概念明确化.若n次试验中覆盖27
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数学建模综合评价方法(定)
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