第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
10．计算I=
??x3dx?3zy2dy?x2ydz,其中?是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)
的直线段AB 解：直线段AB的方程是
xyz??；化为参数方程得： 321 x=3t, y=2t, z=t, t从1变到0， 所以：
I= ＝
??x3dx?3zy2dy?x2ydz
[(3t)3?3?3t(2t)2?2?(3t)2?2t]dt＝87?t3dt??10?0187 ＃ 4?11. 计算曲线积分I=?AMO?(esiny?2y)dx?(ecosy?2)dy, 其中AMO是由点A(a,0)
xx至点O(0, 0) 的上半圆周x2?y2?ax
解：在x轴上连接点O(0, 0), A(a, 0) 将AMO扩充成封闭的半圆形AMOA 在线段OA上, ?从而?AMO??OA?(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy?0
OA???AMO????AMOA?
又由Green公式得:
?AMOA(exsiny?2y)dx?(ecosy?2)dy?xx2?y2?axL??2dxdy??a24 ＃
33312. 计算曲线积分?zdx?xdy?ydz其中L是z=2(x2?y2)与z=3?x2?y2 的交线
沿着曲线的正向看是逆时针方向 解：将L写成参数方程:
x=cost, y=sint, z=2 t: 0?2?
32?2?4333于是: ?zdx?xdy?ydz=??8sintdt??costdt =?
L004 另证：由斯托克斯公式得
?Lz3dx?x3dy?y3dz=??(3y2?0)dydz?(3z2?0)dxdz?(3x2?0)dxdy
??:z?2,x2?y2?1上侧，则：
?Lzdx?xdy?ydz?3333332xdxdy?3d?rcos?dr?? ＃ ????004x2?y2?122?113. 设曲面S为平面x+y+z=1在第一卦限部分，计算曲面S的面积I 解：S在xoy平面的投影区域为：Dxy?(x,y)0?y?1?x,0?x?1
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??第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
I=
??dS=??3dxdy＝?dx?SDxy011?x03dy＝?103(1?x)dx?3 ＃ 214. 计算曲线积分?L(x?y)dx?(x?y)dyx2?y2其中L是沿着圆(x?1)2?(y?1)2?1 从点
A(0,1)到点B(2, 1)的上半单位圆弧 解：设P(x,y)?x?yx?y22， Q(x,y)?x?yx?y22
?P?Qy2?x2?2xy当x?y?0时， ??222?y?x(x?y)22故：所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关 则：?L(x?y)dx?(x?y)dyx?y22=?AB?(x?y)dx?(x?y)dyx?y)dx =
22
=?(15. 确定?的值，使曲线积分
20x?1x2?121ln5-arctan2 ＃ 2C??x?4xy??dx??6x??1y2?2y?dy在XoY平面上与路径无
关。当起点为?0,0?，终点为?3,1?时，求此曲线积分的值。 解：由已知，P?x?4xy,Q?6x由条件得
2???1y2?2y；
?P?Q??1??2? , 即 4?xy?6???1?x,??3, ?y?x?3,1??0,0??132322223?x?4xydx?6xy?2ydy?x?y?2xy????????0,0?3???3,1?222?26 ＃ 1dS ??zS16. 设曲面S为球面x?y?z?4被平面z=1截出的顶部，计算I=
解：S的方程为：z?4?x2?y2
S在xoy平面的投影区域为：Dxy?(x,y)x?y?3
I=
?22?Dxy??4?x22?ydxdy＝?d??202?302rdr ＝4?ln2 ＃ 4?r217. 计算I=??yzdydz?xzdzdx?(x?y?z)dxdy，其中?是x2?y2?(z?a)2?a2，
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
0?z?a，取下侧
解：作辅助曲面?1: z=a，(x2?y2?a2)取上侧
2222设?为x?y?(z?a)?a,z?a所围闭区域
Dxy为平面区域x2?y2?a2
I?(???1?????)yzdydz?xzdxdz?(x?y?z)dxdy
?1=
???dxdydz??Dxy??(x?y?a)dxdy=
23?a?a??dxdy (??(x?y)dxdy?0) 3DxyDxy=??a ＃ 18.．L为上半椭圆圆周?y133?x?acost，取顺时针方向，求?ydx?xdy.
L?y?bsint解：?Lydx?xdy??[bsint?(?asint)?acost?(bcost)]dt
?0
??ab?dt?0
A 0Bx ＃ 19．计算曲面积分?ab?.???xdydz?ydzdx?(z2?2z)dxdy，其中?为锥面z?x2?y2与z?1所围的整个曲面的外侧。
解：
由高斯公式，可得
I????(1?1?2z?2)dv??2???zdv
??2?d???d??zdz002?11
???2. ＃
x2y220．计算曲线积分I??(y?e)dx?(3x?e)dy，其中L是椭圆2?2?1的正向。
Labxy解：令P?y?e, Q?3x?e, 则
xy?Q?P??2?x?y。
设L所围成的闭区域为D，则其面积???ab。
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
从而由格林公式可得
I??L(y?ex)dx?(3x?ey)dy???2dxdy?2??dxdy?2?ab. ＃
DD222 21．设?为柱面x?z?a在使得x?0，y?0的两个卦限内被平面y?0及y?h所截下部分的外侧，试计算I???xyzdxdy。
?解：将?分成?1与?2，其中?1：z?a2?x2（取上侧），?2：z??a2?x2（取下侧），
?1与?2在xoy面上的投影为Dxy:0?x?a,0?y?h，故
??xyzdxdy???xyzdxdy???xyzdxdy??1?2???xya2?x2dxdy???xy(?a2?x2)dxdy
DxyDxy?2??xya2?x2dxdy?2?dx?xa2?x2?ydyDxy00ah
1?a3h2.3 ＃
22．计算曲面积分I???z2dS，其中?是柱面x2?y2?4介于0?z?6的部分。
?解：设?1为?在第一卦限的部分曲面。?1:x?224?y2,?x?y?x?,?0，得
2?y?z4?y??x???x?2dydzdS?1??????dydz?4?y2??y???z?Dyz:0?y?2,0?z?6。
故
。?1在
yoz面上的投影域为
??zdS?4??zdS?4????1Dyz222z24?y2dydz?8?214?y20dy?z2dz?288?. ＃
0623. 计算曲面积分I?122z?(x?y2)介于，其中是旋转抛物面(z?x)dydz?zdxdy???2?z?0及z?2之间部分的下侧。
解：利用高斯公式，取?1:z?2且x?y?4。取上侧，?与?1构成封闭的外侧曲面，所围的闭域为?，?1对应的Dxy为：x?y?4。
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
??(z?2?x)dydz?zdxdy????1??(z?2?x)dydz?zdxdy???(z2?x)dydz?zdxdy?1????(1?1)dv???2dxdy?1
?2???dv???2dxdy?Dxy
?2?d??dr?12rdz?2???220022?22r?8??8??0. ＃ 24．计算曲线积分I?C??y?x?dx??y?x?dy，其中C是自点Ax2?y2??2,1?沿曲线
y??cos?2x到点B?2,1?的曲线段。
x?yy?x?Px2?2xy?y2?Q,Q?2,??,?x2?y2?0?, 解：P?2222x?yx?y?y?x2?y2??x22取小圆周C?:x?y??,?充分小,取逆时针方向,则由Green公式可得:
?22I?1?2C??(y?x)dx?(y?x)dy??1?xdx??2??2arctan2 ＃ 1?x225．用高斯公式计算
22??1及平面，其中柱面x?ydxdy?y?zxdydzy?:????x???z?0,z?3围成封闭曲面的外侧。
解： P??y?z?x,Q?0,R?x?y
?P?Q?R?y?z,?0,? 0?x?y?z 原式=
????y?z?dv?????rsin??z?rdrd?dz
??3 =
???2?02?d??rdr??rsin??z?dz
001 =
09??d???3r2sin??r?dr
02??1 =
2?09?9??sin??d?? = ??4?2?- 10 -
曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)
