1维非定常对流扩散方程的有理型高阶紧致差分格式
赵 飞，蔡志权，葛永斌*
【摘 要】摘要:针对1维非定常对流扩散方程，首先建立了1种2层有理型高阶紧致差分格式，其局部截断误差为O(h4+τ2).然后采用von Neumann分析方法证明了该格式是无条件稳定的.由于在每个时间层上只涉及到3个网格点，因此可直接采用追赶法求解此差分方程.最后通过3个数值算例验证了方法的精确性和可靠性.数值结果表明:所述格式不仅能够适用于非定常对流扩散问题，而且能够较好地求解非定常纯对流问题或纯扩散问题，并且其计算效果均优于Crank-Nicolson(C-N)格式和指数型高阶紧致(EHOC)差分格式. 【期刊名称】江西师范大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2014(000)004 【总页数】6
【关键词】关键词:非定常对流扩散方程;有理型;高阶紧致差分格式;无条件稳定
0 引言
在处理流体流动和传热、温度扩散、海水盐度及地下水污染物质的扩散等实际问题中，很多都可归结为求解对流扩散方程.由于实际问题往往比较复杂，精确解很难求出，因此研究其精确、稳定和高效的数值方法具有十分重要的意义，有限差分方法是最常用的一种数值方法［1-13］.针对1维非定常对流扩散方程，文献［1］构造了1种对角元严格占优的Crank-Nicolson差分格式，文献［2］提出了 1种Crank-Nicolson特征差分格式，文献［3］提出了1种摄动有限差分方法，文献［4］建立了1类指数型交替显式方法.遗憾的是这些方法在空间上的整体精度均不超过2阶.近年来，已经发展了许多高阶紧致差分格式.比如，
文献［5］通过引入1个综合变换，将对流扩散方程变为纯扩散方程，然后利用求解扩散方程已有的4阶格式，最终得到了1种求解对流扩散方程的2层高阶紧致隐格式，文献［6］利用4阶精度的3次样条公式，提出了1种求解非线性对流扩散方程的2层紧致隐格式，文献［7］由定常对流扩散方程的4阶紧致格式出发，将时间导数项作为非齐次项处理，建立了求解1维非定常对流扩散方程的1种2层高阶紧致隐式差分格式，文献［8］给出了求解1维含源项非定常对流扩散方程的1种3层全隐格式，即可适用于线性又可适用于非线性对流扩散问题的求解，文献［9］基于Hermite插值多项式的构造思路，推导出了1维非定常对流扩散方程无条件稳定的指数型高精度紧致差分格式.这些格式在空间上均具有4阶精度，时间上均具有2阶精度.
本文针对1维非定常对流扩散方程，结合已发展的求解非定常对流扩散方程的高阶紧致差分格式的基本思想，建立1种无条件稳定的有理型高阶紧致差分格式，给出格式的稳定性分析和证明，并通过数值算例验证本文方法的精确性和可靠性.
1 高阶紧致差分格式的建立
考虑如下1维非定常对流扩散方程:
初始条件为u(x，0)= φ(x);边界条件为u(b1，t)=g0(t)，u(b2，t)=g1(t).(1)式中，a为扩散项系数，p为对流项系数.假设函数u(x，t)在给定计算区域内足够光滑.
将空间求解区域［b1，b2］进行网格剖分为N个子区间:b1=x0＜x1＜x2＜…＜xN=b2，空间步长定义为h=(b2-b1)/N，用τ表示时间步长. 为了方便格式推导，首先考虑如下1维定常对流扩散方程:
a和p为常数，u，s均为x的函数，将点ui+1和ui-1在点xi处利用泰勒级数展开，可得
将(3)式和(4)式相减，整理后可得 将(3)式和(4)式相加，整理后可得
由此定义空间1阶导数和2阶导数的中心差分算子为
将(5)式与(6)式代入(2)式，并利用关于u的1阶导数和2阶导数的定义，可得 为了得到高精度的差分格式，将(9)式中的3阶导数项和4阶导数项进行处理，为此对原方程(2)关于x求导数，整理可得 将(10)式代入(11)式，整理可得
将(10)式和(12)式代入(9)式，并利用(7)式和(8)式对u的1阶导数和2阶导数进行离散，整理可得
事实上，(13)式即是求解1维定常对流扩散方程的多项式型高阶紧致差分格式［10-12］.然而，文献［13］指出了此格式不能用于求解高雷诺数问题和纯对流问题.为此，把(2)式代入(12)式，整理可得
为了得到求解1维定常对流扩散方程的有理型高阶紧致差分格式，对(9)式做如下处理.首先，将(10)式和(14)式代入(9)式，整理可得
接着，将(5)式和(6)式代入(15)式，并利用(7)式和(8)式对u的1阶导数和2阶导数进行离散，整理可得
再将(10)式和(12)式代入(16)式，并利用(5)式和(6)式代替u的1阶导数项和2阶导数项，用(7)式和(8)式对u的1阶导数和2阶导数进行离散，整理可得 然后，对(2)式关于x求2次导数，代入(17)式消去项，整理可得
最后，将(18)式中s的1阶导数项和2阶导数项用中心差分近似，略去4阶导
1维非定常对流扩散方程的有理型高阶紧致差分格式
