1.6微积分基本定理
一、教学目标
1、通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分；
2、通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义； 3、通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二、教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义
三、教学过程
（一）预习导学
1、定积分的概念： 2、用定义计算的步骤： （二）问题引领，知识探究 ⑴导数与积分的关系;
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？
下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（v(t)?o）， 则物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程可用速度函数表示为达，即
?T2T1v(t)dt。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在[T1,T2]上的增量S(T1)?S(T2)来表
?T2T1v(t)dt=S(T1)?S(T2)
而S?(t)?v(t)。
说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理
对于一般函数f(x)，设F?(x)?f(x)，是否也有
?baf(x)dx?F(b)?F(a)？
若上式成立，我们就找到了用f(x)的原函数（即满足F?(x)?f(x)）的数值差
F(b)?F(a)来计算f(x)在[a,b]上的定积分的方法。
设F?(x)?f(x)则在[a,b]上，⊿y=F(b)?F(a)
将[a,b]分成n 等份，在第i个区间[xi-1,xi]上，记⊿yi=F(xi)-F(xi-1),则
⊿y=∑⊿yi 如下图，因为⊿hi=f(xi-1) ⊿x 而⊿yi≈⊿hi 所以 ⊿y≈∑⊿hi=∑f(xi-1) ⊿x 故
1
⊿y=lim∑⊿hi=∑f(xi-1) ⊿x= 即
b?baf(x)dx
?af(x)dx=F(b)?F(a)
所以有微积分基本定理： 如果函数F(x)是[a,b]上的连续函数f(x)的任意一个原函数，则
??bbaf(x)dx?F(b)?F(a)?baf(x)dx
（此处并不要求学生理解证明的过程）
为了方便起见，还常用F(x)|ba表示F(b)?F(a)，即
af(x)dx?F(x)|ba?F(b)?F(a)
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的
一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
⑶应用举例
例1．计算下列定积分：
311dx(2x?)dx。 ； （2）2?1x?1x1'解：（1）因为(lnx)?，
x212所以?dx?lnx|1?ln2?ln1?ln2。
1x（1）
2 2
1， x233311所以?(2x?2)dx??2xdx??2dx
111xx131223。 ?x2|1?|1?(9?1)?(?1)?x33（2））因为(x)?2x,()??2''1x练习：计算解：由于
?10x2dx
13x是x2的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 31131131312 ?xdx=x|0=?1??0=
03333例2．计算下列定积分：
??0sinxdx,?sinxdx,?sinxdx。
?0'2?2?由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 解：因为(?cosx)?sinx，
所以
???sinxdx?(?cosx)|?(?cos2?)?(?cos?)??2， ?????sinxdx?(?cosx)|?(?cos2?)?(?cos0)?0. ?0222020?sinxdx?(?cosx)|?0?(?cos?)?(?cos0)?2，
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
3
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a=1.82
米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度v0=32公里/小
32?1000米/秒?8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为v(t)=v0?at=8.88-1.8t当
36008.88?4.93秒 汽车停住时,速度v(t)=0,故从v(t)=8.88-1.8t=0解得t=1.8时=
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
s??4.930v(t)dt??4.9301(8.88?1.8t)dt=(8.88?1.8?t2)204.93?21.90米,即在刹车后,汽
车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
四、目标检测
课本p55练习⑴----⑻ 五、教学反思：
4
1.6微积分基本定理教学设计(优秀经典公开课比赛教案)
