工程问题（一）
教学目标
1. 2. 3. 4.
熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；
工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理； 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；
工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．
知识精讲
工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。
一． 工程问题的基本概念
定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。 工作总量：一般抽象成单位“1”
工作效率：单位时间内完成的工作量 三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，
工作效率=工作总量÷工作时间， 工作时间=工作总量÷工作效率；
二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：
① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于
分数、百分数应用题；
② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；
③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；
④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．
三、利用常见的数学思想方法：
如代换法、比例法、列表法、方程法等
抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．
例题精讲
模块一、工程问题基本题型
【例 1】 一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多少
时间？
【考点】工程问题 【难度】1星 【题型】解答
11【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，乙每天完成总量的，两人合作
2821每天能完成总量的
1111??，所以两人合作的话，需要1??12天能够完成． 28211212【答案】12
【例 2】 一项工程，甲单独做需要30天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？ 【考点】工程问题 【难度】1星 【题型】解答
11【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的，
3012乙单独做每天能完成总量的
1111??，所以乙单独做1??20天能完成． 12302020【答案】20
【巩固】 一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？ 【考点】工程问题 【难度】1星 【题型】解答
11【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的，
2112乙单独做每天能完成总量的
【答案】
【例 3】 甲乙两名打字员，打字速度一样快，甲30分钟打了A材料的
111，所以乙单独做28天能完成． ??122128128
12，乙40分钟打了B材料的。A、47B两份材料中， （填A或B）内容多。
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛 【解析】 因为两人速度一样，那么同样的时间内打的字数是一样的，统一两人的时间，甲120分钟可以打完
A材料，乙120分钟可以打B材料的
6，所以B材料内容多 7【答案】B
【例 4】 甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现
2在甲、乙两人共同生产了2小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任
5务．问乙一共加工零件多少个?
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
11121184【解析】 乙单独加工，每小时加工?? 甲调出后，剩下工作乙需做(1?2?)?时所以乙每?8122458245小时加工零件420?480(个)．
【答案】480
8422?25(个)，则2小时加工25?2?60(个)，所以乙一共加工零件420+60＝555
【巩固】 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完
成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 共做了6天后，原来，甲做 24天，乙做 24天， 现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明
原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3。 如
果甲独做，所需时间是30?30?32?75天如果乙独做，所需时间是30?30??50天；甲或乙独做所23需时间分别是75天和50天.
【答案】分别是75天和50天
【例 5】 4名工人加工455个零件。开始的4天中有一名工人因事请假1天，结果共加工195个零件。如果
以后无人清假，那么还要 天可以完成任务。
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】走美杯，决赛，5年级 【解析】 每人每天加工零件195÷(4×4-1)?13(个)，剩下的零件还需加工
(455-195)÷(13×4)?5(天)。 【答案】5天
【例 6】 一项工程，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天
完成，问甲做了几天？
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
11【解析】 根据题意可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，采用鸡兔同笼问题的假设法，可知甲做了
129111(?10?1)?(?)?4天． 9912【答案】4天
【巩固】 一项工程，甲队单独做20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做
15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
11223【解析】 方法一：甲的工作效率为，甲队8天的工作量为?8?，所以乙队15天的工作量为1??，
202055531乙的工作效率为?15?，所以乙队单独完成这项工作需要25天
525方法二：此题可以用代换法解，甲12天工作量等于乙15天工作量，乙的工作效率为甲的做的时间为20?4，乙独54。 ?25（天）
5【答案】25天
【例 7】 有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时。甲、乙同
时开始各搬运一个仓库的货物。开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完。则丙帮甲 小时，帮乙 小时。
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所以它们完
11121成工作的总时间为2?(??)?小时．
67144在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙则在两个仓库都搬运过．
121771113甲完成的工作量是??，所以丙帮甲搬了1??的货物，丙帮甲做的时间为??1小时，
648888144那么丙帮乙做的时间为
2131?1?3小时． 4421【答案】3小时
2
【例 8】 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.
现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要
多做48-28=20（天），由此得出乙的工作效率是甲的（天），相当于乙要做21?3，甲先单独做42天，比63天少做了63-42=2144，乙还需要做 56天. ?28天因此，乙还要做28+28= 56 （天）
3【答案】56天
【例 9】 一项工程，甲队单独完成需40天。若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天
可完成。如果乙队单独完成此工程，则需______天。
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】希望杯，六年级，一试
120111【解析】 甲每天完成，甲乙合作中，甲一共完成?，所以乙也一共完成，乙每天完成，乙单独
40402260做要60天.
【答案】60天
【例 10】 一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙单独做需要30天完成，那
么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
11【解析】 如果将整个工程的工作量看做单位“1”，从条件中我们很容易看出： 甲?乙?， 乙?丙?， 乙
20151111111因此不难得到丙的工作效率为?，因此三个人的工作效率之和为???，也就30153030203012是说，三个人合作需要12天可以完成。
本题也可以分别求出甲和丙的工作效率，再将三人的工作效率相加，得到三人合作的总工效．但是这样做比较麻烦，事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了．
【答案】12天
【巩固】 一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙单独做需要36天完成，那么如
果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
111【解析】 法一：和上题类似，我们可以有：甲?乙?， 乙?丙?， 丙?不难求得，乙的工作效率为
91236?111111111??，因此甲的工作效率为??，从而甲丙合作的工作效率为??， 12361891818361812
即甲丙合作12天能完成。 法二：仍然观察上面那三个等式，我们能否不求出每个人的工作效率，而同过整体的运算直接得到“甲 +丙”的值呢？
不难发现，我们只要把乙消掉就可以了；因此我们有：?甲?乙?丙?2???乙?丙??甲?丙，也就是说：甲?丙?1111??2??，所以甲丙合作12天能完成。 9361212【答案】12天
【巩固】 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.
问甲一人独做需要多少天完成？
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
11【解析】 设这件工作的工作量是1。甲乙两人合作每天完成，甲丙两人合作每天完成，乙丙两人合作
3660每天完成
111161，甲、乙、丙三人合作每天完成(?减去乙、丙两人每天完成?)?2??45364560180301111，甲独做需要1??90天 答：甲一人独做需要90天完成. ??30459090的工作量，甲每天完成
【答案】90天
【巩固】 一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成．那
么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
11113【解析】 方法一：对于工作效率有：(甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即+－=为两倍乙的工作
89187211313．而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率为－144914411＝那么丙一个人来做，完成这项工作需1÷=48天。 4848效率，所以乙的工作效率为
12121＝，所以(甲，乙，丙)=÷2
72187221212111＝，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为．那么丙单独工作的工作效率为－＝，144144144848方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝＋＋
那么丙一个人来做，完成这项工作需48天．
【答案】48天
【例 11】 一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天
可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成?
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
111【解析】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、、.对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，
8612丙)=(甲，丁)．即+
181911111－=，甲、丁合作的工作效率为．所以，甲、丁两人合作24天可81262424以完成这件工程．
【答案】24天
【巩固】 修筑一条高速公里。若甲、乙、丙合作，90天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作，
180天可完工，若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。还需多少天可完工？
小学数学竞赛：工程问题（一）.教师版解题技巧 培优 易错 难
