备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)
专题28数列B辑
历年联赛真题汇编
1．【2010高中数学联赛(第02试)】给定整数n>2，设正实数??1,??2,?,????满足ak≤1，k=1，2，…，n，记????=
?? (??=1,2,?,??)，求证：|∑????=1?????∑??=1????|<
???12
??1+??2+?+????
??
.
【答案】证明见解析
??【解析】由0
注意到当x，y>0时，有|?????| 111111 |?????????|=|(?)∑????+∑????|=|∑?????(?)∑????| ??????????????=11 ??=??+11 ??=??+1 ?? ??=1 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???????1???1故|∑????=1?????∑??=1????|=|???????∑??=1????|=|∑??=1(?????????)|?∑??=1|?????????|<∑ ???1??=1 ?? ???12 1 1 1 1 ?? ?? ?? ?? (1?)= ?? . 2．【2008高中数学联赛(第02试)】设f(x)是周期函数，T和1是f(x)的周期且0 ??1 (2)若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列{an}满足1>????>????+1>0(??=1,2,?)，且每个an都是f(x)的周期. 【答案】证明见解析 【解析】(1)若T是有理数，则存在正整数m，n使得??=且(??,??)=1， ???? 从而存在整数a，b，使得????+????=1， 于是= ??1 ????+?????? =??+????=???1+?????是f(x)的周期. 又因为0 ?? ?? 1 1 (2)若T是无理数，令??1=1?[]??，则0 ?? 1 令????+1=1?[]???? (??∈???)，由数学归纳法易知an均为无理数且0 ???? 1 又因为 1???? ?[]<1，故1 ???? ???? ???? 111 因此{an}是递减数列. 下面证明每个an都是f(x)的周期事实上，因为1和T是f(x)的周期，故??1=1?[]??亦是f(x)的周期， ??1 假设ak是f(x)的周期，则????+1=1?[]????也是f(x)的周期. ???? 1 由数学归纳法，已证得an均是f(x)的周期. 3．【2008高中数学联赛(第02试)】设ak>0，k=1，2，…，2008.证明：当且仅当∑2008??=1????>1时，存在数列{xn}满足以下条件： (1)0=??0 ??→∞ 2007(3)??????????1=∑2008??=1????????+???∑??=0????+1????+??，??=1,2,3?. 【答案】证明见解析 【解析】必要性.假设存在{xn}满足条件(1)，(2)，(3). ?注意到条件(3)中的式子可化为??????????1=∑2008??=1????(????+???????+???1) (??∈?)，其中x0=0. 将上式从第1项加到第n项，并注意到x0=0，得 ????=??1(????+1???1)+??2(????+2???2)+?+??2008(????+2008???2008)， 由条件(2)可设??=lim????， ??→∞ 将上式取极限得??=??1(?????1)+??2(?????2)+?+??2008(?????2008) 2008=???∑2008??=1?????(??1??1+??2??2+?+??2008??2008) 因此∑2008??=1????>1. 2008??充分性.假设∑2008??=1????>1.定义多项式函数如下??(??)=?1+∑??=1?????? (??∈[0,1])， 则f(s)在[0，1]上是递增函数，且f(0)=－1<0，??(1)=?1+∑2008??=1????>0， 因此方程??(??)=0在[0，1]内有唯一的根??=??0， 且0 ??下取数列{xn}为????=∑??=1??0 (??=1,2,?)， ?? 则{xn}满足题设条件(1)，且????=因为0 ??+1 1，故lim??0 ??→∞ ?? ∑??=1??0 ?? = ??+1??0???0 1???0 ， ??+1??0???0 =0，因此lim????=lim ??→∞ ??→∞ 1???0 = ??01???0 ， 即{xn}的极限存在，满足条件(2). 最后验证{xn}满足条件(3)， ?? 因为??(??0)=0，即∑2008??=1??????0=1，从而 2008????????+????????????1=??0=(∑2008=∑2008??=1??????0)??0=∑??=1??????0??=1????(????+???????+???1)， 综上，存在数列{xn}满足条件(1)，(2)，(3). 4．【2006高中数学联赛(第02试)】已知无穷数列{an}满足??0=??,??1=??,????+1=(1)对于怎样的实数x与y，总存在正整数n0，使当?????0时，an恒为常数? (2)求通项an. 【答案】(1)答案见解析；(2) ????= (??+1)?????2(??+1)?????1+(???1)?????2(???1)?????1(??+1)?????2(??+1)?????1?(???1)?????2(???1)?????1?????????1+1????+?????1 ?????????1+1????+?????1 ,??=1,2,?. (??≥0). ① 【解析】(1)我们有?????????+1=????? = 2?1???? ????+?????1 (??=1,2,?) 2所以，如果对某个正整数n，有????+1=????，则必有????=1且????+?????1≠0. 如果n=1，我们得|??|=1且??≠??? 如果n>1，我们有?????1=和????+1= ?????1?????2+1?????1+?????2 ?????1?????2+1?????1+?????2 ② (?????1?1)(?????2?1) ?????1+?????2 ?1= (???2) ④ ⑤ ③ +1= (?????1+1)(?????2+1) ?????1+?????2 2?1?????1 (???2) ? 2?1?????2 2将式③和④两端相乘，得?????1= ?????1+?????2?????1+?????2 (???2) 由式⑤递推，必有式②或|x|=1且y≠－x ⑥ 反之，如果条件②或⑥满足，则当n≥2时，必有an为常数，且常数是1或－1. (2)由式③与式④，我们得到记????= ?????1????+1 ?????1????+1 = ?????1?1?????1+1 ? ?????2?1?????2+1 (???2) ⑦ ，则当n≥2时， 232有????=?????1?????2=(?????2?????3)?????2=?????2?????3=(?????3?????4)2?????3=?????3?????4=?， 由此递推，我们得到 ?????1????+1 =( ???1?????1??+1 )?( ???1?????2??+1 ) (???2) ⑨ ⑩ ⑧ 这里????=?????1+?????2 (???2,??0=??1=1) 由式⑨解得????= 1√5((1+√52 ) ??+1 ?( 1?√52 )??+1 ) 上式中的n还可以向负向延伸，例如???1=0,???2=1， 这样一来，式⑧对所有的n≥0都成立.由式⑧解得 ????= (??+1)?????2(??+1)?????1+(???1)?????2(???1)?????1(??+1)?????2(??+1)?????1?(???1)?????2(???1)?????1 (??≥0) 1111 式1111中的?????1,?????2由式⑩确定. 5．【2004高中数学联赛(第02试)】在平面直角坐标系xOy中，y轴的正半轴上的点列{An}与曲线??=√2??(???0) 上的点列{Bn}满足|??????|=|??????|=.直线????????在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，n∈N+. ?? 1 (1)证明????>????+1>4,??∈?+. (2)证明存在??0∈??+，使得对???>??0，都有【答案】证明见解析 【解析】(1)由题意，有????(0,),????(????,√2????) (????>0)， ??1 ??2??1 + ??3??2 +?+ ?????????1 + ????+1???? 由于|??????|= 2 ，有?????? 1 1 +2????=()，所以????=√()+1?1 (??∈??+)， ?? ?? 1 1 12 2其次，直线AnBn在x轴上的截距an满足(?????0)(√2?????)=(0?)(?????0)， ?? ?? 所以????= ????1???√2???? (??∈??+)， 1??2???? 2 因为2??2????=1???2????>0，????+2= ????(1+??√2????)1?2??2???? 1??2???? √2√??2????， 因此????= =+=????+2+√2(????+2)， 11 所以????=√()+1+1+√2√()+1+2， ?? ?? 22又因为> ?? 11??+1 >0，所以对n∈N+，都有????>????+1>4， ????+1???? (2)设????=1? 2 (??∈??+)，有 2????= √(1)+1?√(1)+1????+12√(1)+1?1??=??2( 1??2? 1(??+1)2).√(1)+1+1??22√(1)+1+√(1)+1????+12 > 2??+1(??+1)2(+ 2 11122√()+1 ??)> 2??+12(??+1)2， 1??+2 因为(2??+1)(??+2)?2(??+1)2=??>0，所以????>设????=??1+??2+?+???? (??∈??+)， 则当??=2???2>1 (??∈??+)时????>++?+ 3 41 1 1 (??∈??+)， 2???1+ 12?? 111111=(+)+(2+1+?+3)+?+(???1+?+??) 34222+12>2? 所以取??0=24009?2， 则对???>??0，有(1? ??2??1 111???12???1 +2?+?+2?= 22232??2)+(1? ??3??2 )+?+(1? ????+1???? )=????>????0> 4009?1 2 =2004， 即得 ??2??1 + ??3??2 +?+ ????+1???? ??0). ????+1=7????+6?????3 ，n=0，1，2，…， ????+1=8????+7?????4 6．【2000高中数学联赛(第02试)】设数列{an}和{bn}满足??0=1,??0=0，且{证明an(n=0，1，2，…)是完全平方数. 【答案】证明见解析 【解析】由已知，有????+2?14????+1+????+6=0， 化为(????+2?)?14(????+1?)+(?????)=0， 2 2 2 1 1 1 构建新数列{cn}：????=?????， 2 1 且??0=，??1=??1?=(7??0+6??0?3)?=，????+2?14????+1+????=0， 2 2 2 2 1117 由特征方程??2?14??+1=0得两根??1=7+4√3,??2=7?4√3， ??所以????=??1????1+??2??2， 当n=0，1时，有{ 14 ??1+??2= 12 12 14 14 ??1(7+4√3)+??2(7?4√3)= 14 14 ， 解得??1=??2=，则????=(7+4√3)??+(7?4√3)??=(2+√3)2??+(2?√3)2??. 则????=????+=[(2+√3)??+(2?√3)??]. 2 41 1 2 因为(2+√3)??+(2?√3)??为正偶数，所以an是完全平方数. 27．【1998高中数学联赛(第02试)】设??1,??2,?,????,??1,??2,?,????∈[1,2]有∑??=1????=∑??=1????2， ?? ?? 求证∑ ?? 3 ???? ??=1???? ? 1710 2 ?∑??=1????，并问：等号成立的充要条件. ?? 【答案】证明见解析 ?? √??3 【解析】由于????,????∈[1,2],??=1,2,?，因此1 ??3?? 1????2√????????= ????????5 ?2 3???? ?0. ① 2 从而(√?????????√??)(2√?????????√??)?0，即?????????????+ 2????2 ?? ??3???? 由此可得∑ ?? 3 ???? ??=1???? 12 2 ?∑??=1?????∑????=1???????? 2 5?? ② 又由式①可得(?????????)(2?????????)?0， 222 即??1???????+?????0，亦即?????????(????+????2). 2 2 2代人式②，注意到∑??=1????=∑??=1????2，可得 ?? ?? 5 5
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