第二讲 向、复数、算法、合情推理 

第二讲 向量、复数、算法、合情推理

必记公式]

1．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

①a∥b?a＝λb(b≠0，λ∈R)?x1y2－x2y1＝0. ②a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 2．复数的四则运算法则

(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)． (a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i. ac＋bdbc－ad(a＋bi)÷(c＋di)＝2＋i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)．

c＋d2c2＋d2

重要结论]

1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. →→→

2．已知OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是 λ＋μ＝1.

3．平面向量的三个性质 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 →

|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2.

(3)设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

x1x2＋y1y2a·bcosθ＝＝2222 .

|a||b|x1＋y1x2＋y24．复数运算中常用的结论

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1＋i1－i

①(1±i)＝±2i；②＝i；③＝－i；④－b＋ai＝i(a＋bi)；

1－i1＋i

2

⑤i4n＝1，i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*.

5．归纳推理的思维过程

实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论 6．类比推理的思维过程

实验、观察―→联想、类推―→猜测新的结论

失分警示]

1．遇到i2，忘记应化为－1，要注意i的周期性．

2．虚数与纯虚数的条件不要弄混，当b≠0时，复数z＝a＋bi(a，b∈R)叫做虚数；当a＝0且b≠0时，复数z＝a＋bi叫做纯虚数．

3．读不懂程序框图的逻辑顺序，不能准确把握判断框中的条件． 4．分不清当型循环与直到型循环，不注意控制循环的变量是什么，不清楚何时退出循环、循环体内的程序是什么．

考点

典例示法

题型1 向量的概念及线性运算

→→

典例1 2015·北京高考]在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，→→→→→

BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝______，y＝________.

题型2 向量的数量积

典例2 2015·广东高考]在平面直角坐标系xOy中，已知向量

?2π??2?

m＝?，－?，n＝(sinx，cosx)，x∈?0，2?.

2????2

平面向量的运算及应用

(1)若m⊥n，求tanx的值；

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π

(2)若m与n的夹角为3，求x的值． 题型3 平面向量的综合应用

典例3 2016·江苏高考]如图，在△ABC中，D是BC的中点，→→→→→→E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．

1．解决平面向量及线性运算问题应注意的几点 (1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判定两个向量共线的重要依据． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.

→→→

(4)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A、B、C三点共线，则λ＋μ＝1.

(5)平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法及实数与向量的积，在解决这类问题时，经常出现的错误有：忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆；错用数乘公式．对此，要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件．

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2．数量积、模和夹角的问题

(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路： ①直接利用数量积的定义； ②建立坐标系，通过坐标运算求解.

?2?在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算.,求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方.

?3?两个向量夹角的范围是0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.

3．解向量与其他知识的综合问题应注意

向量、不等式、解三角形的结合是现在高考的主流趋势，对于向量而言，要掌握相关的夹角、模、垂直、平行等重要公式．而在三角形中有关最值的求解通常借助于正弦型或余弦型函数的范围，或归结为二次函数的最值、或利用基本不等式等进行，无论采用哪种形式，都要强调变量的范围．处理三角形中的问题也要注意灵活地边角转化，并且注意一些隐含条件，如内角和为180°、大角对大边等内在属性．

考点

典例示法

典例4 (1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( ) A．1 B.2 C.3 D．2 2i

(2)设i是虚数单位，复数z＝，则|z|＝( )

1＋iA．1 B.2 C.3 D．2

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复数的概念及运算

本例条件不变求z？

复数的基本概念与运算问题的解题思路

(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解．

(2)与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b，∈R)，代入条件，用待定系数法解决．

针对训练

2i

1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )

1－iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 a

2．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(1＋i)(1－bi)＝a，则b的为_ ．

考点

典例示法

题型1 求输入或输出的值

典例5 2016·全国卷Ⅰ]执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )

程序框图

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