习题8?8 1
求函数f(x? y)?4(x?y)?x2?y2的极值?
求得驻点为(2??2).
fx(x,y)?4?2x?0 解 解方程组??f(x,y)??4?2y?0?y fxx??2? fxy?0? fyy??2? 在驻点(2??2)处所以在点(2 2
求函数f(x? y)?(6x?x2)(4y?y2)的极值?
?fx(x,y)?(6?2x)(4y?y2)?0 解 解方程组?f(x,y)?(6x?x2)(4?2y)?0?y 因为
fxx??2?0
?2)?8
fxx fyy?fxy2?(?2)(?2)?0?4?0
?2)处? 函数取得极大值? 极大值为f(2
得驻点(0? 0)? (0? 4)? (3? 2)? (6? 0)? (6?4)? 函数的二阶偏导数为
fxx(x? y)??2(4y?y2)? fxy(x? y)?4(3?x)(2?y) 在点(0? 0)处? 因为 fxx?fyy?fxy2?0所以f(0? 0)不是极值 fxx?fyy?fxy2?0所以f (0? 4)不是极值 fxx?fyy?fxy2?(?8)
0?242??242?0?
0?(?24)2??242?0?
(?18)?02?8
fyy(x? y)??2(6x?x2)
在点(0? 4)处? 因为
在点(3? 2)处? 因为
18?0? fxx??8?0?
所以f(3? 2)?36是函数的极大值 在点(6? 0)处? 因为
fxx?fyy?fxy2?0?0?(?24)2??242?0? 所以f(6? 0)不是极值
在点(6? 4)处? 因为
fxx?fyy?fxy2?0?0?242??242?0? 所以f(6? 4)不是极值 综上所述2)?36 3
求函数f(x? y)?e2x(x?y2?2y)的极值?
得驻点
这个极值是极大值f(3
函数只有一个极值
?fx(x,y)?e2x(2x?2y2?4y?1)?0 解 解方程组?f(x,y)?e2x(2y?2)?0?y(1, ?1)2
fxx(x? y)?4e2x(x?y 2?2y?1)? fxy(x? y)?4e2x(y?1)? fyy(x? y)?2e2x
在驻点(1, ?1)处? 因为
2 fxx?fyy?fxy2?2e?2e?02?4e2?0? fxx?2e?0所以f(1, ?1)??e是函数的极小值
22 4
求函数z?xy在适合附加条件x?y?1下的极大值?
解 由x?y?1得y?1?x? 代入z?xy? 则问题化为求z?x(1?x)的无条件极值
dz?1?2xdx2d??2 z2dx
1??2?02 令dz?0, 得驻点x?12dx2d 因为zdx2x? 所以x?1为
2极大值点 极大值为z?1(1?1)?1224 5直角三角形?
从斜边之长为l的一切直角三角形中? 求有最大周界的
解 设直角三角形的两直角边之长分别为x? y? 则周长 S?x?y?l(0?x?l ? 0?y?l) 因此
本题是在x2+y2?l2下的条件极值问题? 作函数
F(x? y)?x?y?l+?(x2+y2?l2) 解方程组 ??Fx?1?2?x?0 ?Fy?1?2?y?0222??x?y?l
根据问题性质可知这种最大周
得唯一可能的极值点x?y?l2界的直角三角形一定存在? 所以斜边之长为l的一切直角三角形中? 周界最大的是等腰直角三角形? 6
要造一个容积等于定数k的长方体无盖水池
应如何
选择水池的尺寸方可使表面积最小?
解 设水池的长为x? 宽为y? 高为z? 则水池的表面积为 S?xy?2xz?2yz(x?0? y?0? z?0)?
本题是在条件xyz?k下? 求S的最大值? 作函数 F(x解方程组
?Fx?y?2z??yz?0?F?x?2z??xz?0 ?yFz?2x?2y??xy?0?xyz??k y z)?xy?2xz?2yz??(xyz?k)
得唯一可能的极值点(32k, 32k, 132k)2132k? 2 由问题本身可知S一定
有最小值? 所以表面积最小的水池的长和宽都应为32k.高为
7 在平面xOy 上求一点? 使它到x?0? y?0及x?2y?16?0三
直线距离平方之和为最小?
解 设所求点为(x? y)? 则此点到x?0的距离为|y|? 到y?0的距离为|x|? 到x?2y?16?0的距离为
|x?2y?16|? 而距离平方之和为 21?2 z?x2?y2?1(x?2y?16)2?
5解方程组
??z?2x?2(x?2y?16)?0?x3x?y?8?05 ?? 即?z?2y?4(x?2y?16)?02x?9y?32?0 ??y5?得唯一的驻点(8, 16)? 根据问题的性质可知? 到三直线的距离平
55?方之和最小的点一定存在? 故(8, 16)即为所求?
55 8
将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体?
问矩形的边长各为多少时? 才可使圆柱体的体积为最大？ 解 设矩形的一边为x? 则另一边为(p?x)? 假设矩形绕p?x旋转? 则旋转所成圆柱体的体积为V?
x2(p?x)
由dV?2?x(p?x)??x2??x(2p?3x)?0? 求得唯一驻点x?2p?
dx3 由于驻点唯一? 由题意又可知这种圆柱体一定有最大值? 所以当矩形的边长为 9
2pp和时? 绕短边旋转所得圆柱体体积最大? 33 求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体?
解 设球面方程为x2+y2?z2?a2? (x? y? z)是它的各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的一个顶点? 则此长方体的长宽高分别为2x? 2y? 2z? 体积为 V?2x?2y?2z?8xyz 令 F(x 解方程组
?Fx?8yz?2?x?0?F?8xz?2?y?0 ?yFz?8xy?2?z?0?x2222??y?z?a
(x2?y2?z2?a2)
y z)?8xyz?
?4yz??x?0? 即?4xz??y?04xy??z?0?x2?y2?z2?a2?
得唯一驻点(a,a,a)333 由题意可知这种长方体必有最大体积? 所以当长方体的长、
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案8-8.
