立体几何综合题及答案

1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。 （I）证明：是侧棱的中点；

求二面角的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小

B1

A1 C1

D A E C

B 4.（2009北京卷）如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）

当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

6.（2009四川卷）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；

（II）设线段、的中点分别为、，求证： ∥ （III）求二面角的大小。

立体几何答案

1、【解析】

法二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点

G，连GF，易证，则即为所求二面角.

解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则。

z S M C D A B x

（Ⅰ）设，则 ，

，由题得 ，即

解之个方程组得即 所以是侧棱的中点。

y

法2：设，则 又 故，即 ，解得，

所以是侧棱的中点。 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，， 设分别是平面、的法向量，则 且，即且 分别令得，即 ，

∴

二面角的大小。 2、解法一： 解法二：

（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。 设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.

于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC，（Ⅱ）设平面BCD的法向量则 又=（-1，1， 0）， =（-1，0，c）,故

令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).

又平面的法向量=（0，1，0） 由二面角为60°知，=60°， 故 °，求得

于是 ，

，

°

所以与平面所成的角为30°

4、【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 设

则， （Ⅰ）∵，

∴，

∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，∴平面.

，求得b=1，所以 AB=AC。 =0 （Ⅱ）当且E为PB的中点时，， 设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角， ∵， ∴，

∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.

多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD＋VE—BCF=

6、【解析】

解法二: 因等腰直角三角形，，所以

又因为平面，所以⊥平面， 所以

即两两垂直；如图建立空间直角坐标系, (I) 设，则，

∵，∴， 从而， 于是，

∴⊥,⊥ ∵平面，平面， ∴

（II），从而 于是

∴⊥，又⊥平面，直线不在平面内， 故∥平面

（III）设平面的一个法向量为，并设＝（ 即

取，则，，从而＝（1，1，3） 取平面D的一个法向量为

故二面角的大小为